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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les réseaux plans qui sont à la fois pro- 

 jection orthogonale d'un réseau O et projection orthogonale d un réseau G. 

 Note de M. C Guichard. 



Un réseau O est un réseau formé par les lignes de courbure d'une surface; 

 un réseau G est formé d'une série de géodésiques d'une surface et de leurs 

 trajectoires conjuguées. Soit alors dans un plan, que je suppose horizontal, 

 m un point qui décrit un réseau, tel que sur la verticale de m il y ait un 

 point M qui décrit un réseau O et un point G qui décrit un réseau G. 

 Soient .r n x 2 les coordonnées de m, y, et :- { les cotes de M et G. La sur- 

 face G est une surface des centres (je suppose que ce soit la première) d'une 

 surface M, ; soit iz 3 le rayon de courbure correspondant. On aura d'abord 



( i ) dx'\ -+- dx'l -H dy\ = h"- (tu- -+- l i dc' i ; 



x t: £C 2 ,y, sont solution de l'équation 



à'-O _ i dh àB l<2L<iï_ 

 dudv h d<.' du 1 Ou dv 



D'après les propriétés connues de la surface des centres, x K , a- 2 , z { , z 2 sont 

 solutions d'une même équation de Laplace; cette équation sera l'équa- 

 tion (2) puisqu'elle doit admettre les solutions x, et x 2 ', et l'on aura en 

 outre 



( 3 ) dx\ + dx\ + ds\ + dz\ = l : \ '- df, 



V étant une fonction de v seul. Des équations (1) et (3) on déduit 

 ( 4 ) dz\ + dz\ — dy\ = — /< 2 du* -h / 2 ( V 2 - i ) dp 1 . 



On voit que le point n(z,, s,) décrit un réseau plan qui est la projection 

 orthogonale d'un réseau O décrit par le point N(-s 4 , z 2 , iy t ) et d'un 

 réseau G décrit par le point H(.s,, z 2 , x,), le rayon de courbure corres- 

 pondant' étant ix.,. On voit que chaque solution du problème permet d'en 

 former immédiatement une autre. L'étude des surfaces (M) et (N) permet- 

 trait d'arriver à l'équation du problème- Mais il est plus simple d'opérer de 

 la façon suivante : le réseau m est 2 O ; la première tangente mr de ce réseau 

 est la projection de la normale à la surface M,; la congruence mr est 

 donc 31; il en résulte qu'il y a sur mr un point/) qui décrit un réseau O; la 

 deuxième tangente de p décrit une congruence harmonique à m, congruence 



