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Si l'on pose 



et si l'on multiplie le premier membre de l'équation (8) par 2-r^> on aura, 

 en tenant compte des équations ( -'), 



an ,. 0" zi i)^ .- , do' 



— 2 a 



ou 



da ,, ô' 2 o Os , , do ,' 



— ( a'- 1 = — 





et, en intégrant, 



«■=v,(£V + o 



U étant une fonction de «; le cas où L esl nul ne donne rien d'intéressant 

 pour le problème posé: si U n'est pas nul. on peut le réduire à l'unité par 

 un choix convenable de la variable u. < >n aura donc 



■*=V, (£)'+,. 



En portant cette valeur de a dans la première des équations (- ), on aura 

 l'expression de b; en écrivant que la seconde de ces équations est satisfaite 

 on trouve pour y une équation du troisième ordre; c'est l'équation du pro- 

 blème. Quand on connaît le déterminant A on peut facilement former les 

 surfaces (M)', voici le résultat auquel on arrive. On forme une combinaison 

 linéaire isotrope de (J n $.,, [3.,; prenons, par exemple, la combinaison 



y. -ft -'■?.- 



La sphère S qui a pour centre le point dont les coordonnées sont 



roso si ii o 



et pour rayon ^ enveloppe une surlace M (et aussi sa symétrique par rap- 

 port au plan horizontal). Toutes les surfaces qui ont même représentation 

 sphérique de leurs lignes de courbure que cette surface possèdent aussi la 

 propriété indiquée. Le problème, on le voit, est assez compliqué, mais on 

 en connaît un très grand nombre de solutions particulières, je vais en 

 indiquer quelques-unes. 



