SÉANCE DU IO AVRIL 1916. 55 1 



l. Si V, est une constante le problème se réduit au second ordre; la 

 question revient, en somme, à la recherche des surfaces à courbure totale 

 constante. Dans ce cas il se présente la particularité suivante : la sur- 

 face ( M,) a deux centres de courbure G et <i, ; le réseau G, possède laméme 

 propriété que le réseau G, c'est-à-dire que sur la verticale du point G, il y a 

 un point qui décrit un réseau O. 



ï. Soit (M) une surface dont les normales touchent au paraboloïde de 

 révolution dont l'axe est vertical; soient C le premier centre de courbure 

 delà surface, MR la première tangente principale de la surface (M): 

 C décrit un réseau tracé sur le paraboloïde, ce réseau se projette sur le 

 plan horizontal suivant un réseau O ; la droite MR qui lui correspond par 

 orthogonalité des éléments découpera sur le plan horizontal un réseau < >; 

 la projection de MR sur le plan horizontal, étant une congruence conjuguée 

 à un réseau O, sera une congruence 31; il en résulte que sur la verticale du 

 point M il y a des points qui décrivent des réseaux (i. 



){. Soit (M) une surface dont les normales touchent une quadrique de 

 révolution à centre dont l'axe est vertical: on vérifie facilement que sur 

 la verticale du point M il existe des points qui décrivent des réseaux G; de 

 plus si C est le centre de courbure situé sur la quadrique, sur la verticale 

 du point C il existe un point qui décrit un réseau O. (Ce réseau O est situé 

 sur une sphère. ) 



\. Considérons une quadrique générale; on sait qu'il existe six cylindres 

 de révolution circonscrits à la quadrique: je considère l'un d'eux et je 

 suppose l'axe du cylindre vertical; je prends comme origine le centre de la 

 quadrique et comme troisième axe de coordonnées l'axe du cylindre. 



L'équation de la quadrique pourra s'écrire 



A chaque point M(a? M a? 2 ,a? a ) faisons correspondre un point N(y n j 2 ,y 3 1 

 tel que 



Les points M et > sont sur une même verticale: le point \ appartient ;'i 

 une sphère; si le point M décrit un réseau il en est de même du point \. On 

 voit alors qu'il suffit de prendre sur la quadrique un réseau G pour obtenir 

 une solution particulière du problème posé. 



