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CORRESPONDANCE . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations des équations aux 

 dérivées partielles. Note de M. Cerf, présentée par M. Emile Picard. 



1. Considérons deux équations aux dérivées partielles d'ordres m et M 

 (O /(-«•. y, s, • • • , p*m) — o; 



(E) F (as, y^ z, p 0>n ) =o. 



Désignons par [ /", FJ l'expression 



X? r ( d'" F \ VV / ""' f \ , ■ ; ■ ; 



2*Sp:,'ida¥dr)-2* F *AdZray) (< + <=»'•./+./ 



M) 



par (A) le système formé par les équations (e) et (E) et leurs dérivées par 

 rapport à r et à y jusque, et y compris, celles d'ordre M -+- m - i en z. Si 

 les deux équations n'ont pas de direction commune de caractéristiques, il 

 est connu que la condition nécessaire et suffisante pour que le système (A) soi I 

 complètement intégrable est que [/, FJ = o en soit conséquence « algé- 

 brique ». 



Lorsque les deux équations ont des directions communes de caractéris- 

 tiques, on montre qu'en général on peut trouver par difTérentiations et 

 éliminations un système (a), équivalent à (A), d'ordre plus petit que 

 M 4-772 — i, tel que ses équations d'ordre le plus élevé soient indépen- 

 dantes par rapport aux dérivées de cet ordre et qu'il soit complètement 

 intégrable si \f, FJ — o en est une conséquence « algébrique », cette condi- 

 tion suffisante étant aussi nécessaire. 



Si cette condition se trouve réalisée, les deux équations données admettent 

 des solutions communes dépendant en général d'un nombre fini de cons- 

 tantes arbitraires. 



On peut donc dire qu'on peut substituer au système des deux équations 

 données un système équivalent (A) ou (a) dont la condition de complète 

 intégrabilité consiste en ce que [/, F| = o en soit conséquence « algé- 

 brique » ; dans tous les cas, nous désignerons ce système par (a). 



1. Supposons que l'on se donne quatre relations entre les éléments 



