SÉANCE DU IO AVRIL 1916. 55 5 



d'ordres quelconques de deux espaces (e), (e') : 

 (0 Fi(«i.y> ■=) — P»,m,\ x', j\ ~, • • -, />i, m ;.) =='0 (/= 1, 2, 3,4). 



Soit s ' -— g'(x\ y') l'équation d'une surface (s') de (e') ; désignons par F, 

 ce que devient F, quand on y remplace z', p\ n , p' ni , ... par g'(x',y'), 

 g' x , (a/, y'), g' y , (x', y'), — A la surface (Y ) ne correspondent des surfaces 

 de (e) que si les deux équations aux dérivées partielles en 2 obtenues par 

 l'élimination dex',y' entre les quatre relations (1) admettent des solutions 

 communes; soient 



(2) » — o, 4> — o 



ces deux équations. 



Par diiïérentiations et éliminations, au moyen des relations (1), on en 

 déduit, en général, d'autres, qui jointes à elles forment un système (S) tel 

 que (S) soit équivalent au système (a) déduit des équations (2), et une 

 relation R = o telle que le système formé par (S) et 11 = o soit équivalent 

 au système obtenu en adjoignant à (a) : [o, <I>J = o. 



Ceci posé, admettons que des relations (S) et R = o on puisse élimi- 

 ner x, y, z et toutes ses dérivées qui y figurent; il vient une relation U' = o 

 qui constitue une équation aux dérivées partielles en à', d'un certain ordre ; 

 à une solution de cette équation correspondent, en général, des surfaces 

 de (e) qui dépendent d'un nombre fini de constantes arbitraires. Supposons 

 que l'on puisse de même déterminer une équation U = o en s, eh permu- 

 tant le rôle des deux groupes de lettres; une correspondance se trouve 

 établie entre les solutions des deux équations U = o, U'=o dont nous 

 dirons qu'elles se correspondent dans une transformation (N) définie par les 

 relations (1); les caractéristiques se correspondent sur deux surfaces cor- 

 respondantes; si les deux équations sont de même ordre, l'une étant inté- 

 grable par la métbode de M. Darboux, l'autre l'est également. Les 

 transformations de Backlund sont un cas particulier des transforma- 

 tions (N). 



3. Parmi les transformations ( N ) on en distingue une classe particulière 

 qui jouissent de propriétés spéciales : elles sont caractérisées par le fait que 

 trois des relations de définition représentent dans l'un des espaces, nous 

 disons (e), une multiplicité M 2 d'éléments unis du premier ordre. Soit n 

 l'ordre maximum de ces relations par rapport à z : Backlund a montré 

 qu'elles permettent de calculer x',y', z' , />' , </ en fonction de r, y, z et de 



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