SÉANCE DU 25 AVRIL 1916. 629 



CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une courbe cantorienne qui contient une 

 image biunivoque et continue de toute courbe donnée. Note (') de 

 M. W. Sierpinski, présentée par M. Emile Picard. 



Le but de cette Note est de construire une courbe cantorienne (plane) C 

 telle que, C étant une courbe cantorienne (plane) donnée arbitrairement 

 a priori, il existe toujours une image biunivoque et continue C de la courbe C 

 dont tous les points sont points de la courbe C . 



La courbe C sera définie comme suit. Soit Q un carré donné, par 

 exemple le carré dont les sommets sont les points (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1). 

 Divisons le carré Q en neuf carrés plus petits et excluons l'intérieur de celui 

 qui contient le centre du carré Q. Sur chacun des huit carrés qui res- 

 teront opérons de même et ainsi de suite in infinilum. L'ensemhle de tous 

 les points du carré Q qui ne seront pas exclus constitue évidemment une 

 ligne cantorienne : c'est la courbe C . 



Soit maintenante une courbe cantorienne donnée quelconque : je dis 

 qu'il existe une courbe O, sous-ensemble de C , qui est une image biuni- 

 voque et continue de la courbe C. Pour le démontrer il suffit évidemment 

 de démontrer qu'il existe une courbe K qui est une image biunivoque et 

 continue de la courbe C et qui contient tous les points de la courbe C. 



Pour définir la courbe K construisons préalablement un carré U tel que 

 la courbe C soit située à l'intérieur de U. Comme axes des coordonnées, 

 prenons les côtés du carré U. Divisons le carré U en neuf nouveaux carrés : 

 soit V celui d'entre eux qui contient le centre du carré U. 



Nous dirons, pour abréger, qu'un rectangle Pi Jouit de la propriété P, si 

 ses côtés sont parallèles aux axes des coordonnées et s'il ne contient à son 

 intérieur aucun point de la courbe C. 



Soit R un rectangle jouissant de la propriété P qui est intérieur au 

 carré Y (un tel rectangle existe évidemment, la courbe C étant un ensemble 

 non dense dans le plan). Désignons par r, l'abscisse (commune) des som- 

 mets gauches du rectangle R; par x 2 celle de ses sommets droits; par y, 



(') Séance du 10 janvier 1916. 



