63o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



l'ordonnée de ses sommets inférieurs, et par Vo celle de ses sommets supé- 

 rieurs. Posons encore a? = o, y u = o. Les quatre droites 



divisent le carré U en neuf rectangles ayant comme sommets gauches infé- 

 rieurs respectivement les points (x a , v^) (a = o, 1,2; {3 = a, i, 2); désignons 

 par U a .p celui de ces rectangles (jui a le point (ot}g,,y£) comme sommet 

 gauche inférieur (nous aurons donc évidemment U, , = R). Divisons cha- 

 cun des neuf rectangles U a .p en neuf rectangles égaux : soit toujours V a> p 

 celui d'entre eux qui contient le milieu du rectangle U ai p. 



Nous allons maintenant construire neuf rectangles S a p jouissant de la 

 propriété P. Généralement, a désignant un symbole définissant un rec- 

 tangle S 5 dont les côtés sont parallèles aux axes des coordonnées, nous 

 désignerons toujours paro^ l'abscisse des sommets gauches du rectangle S 7 , 

 par x" a l'abscisse de ses sommets droits, par y' a l'ordonnée de ses sommets 

 inférieurs et par y" a celle de ses sommets supérieurs. 



Les neuf rectangles S a ,p seront maintenant définis par récurrence comme 

 suit. A l'intérieur du rectangle V ai p, choisissons un rectangle S a .p jouissant 

 de la propriété P et contenu d'une part entre les parallèles y=y a _, p, 

 v =y" a - 1 p et d'autre part entre les parallèles ;r = .r a p_,, x = x" a ^_ t (si <x = o 

 ou p =0, on doit omettre l'une ou l'autre de ces conditions). Posons 



■'•■m = -'-'«,^ -raî=-2'a.-.- y$î=/t#, yfa=jifi (« = o, i,a; p = o,i,a) 



et désignons par R a p le rectangle formé par les droites 



.r = x al , jj = ar a „ y — y^, y=y^ t . 



On voit aisément que le rectangle R a p sera contenu dans S a .p : donc il ne 

 contiendra à son intérieur aucun point de la courbe C. Posons encore 



»«o= x *> y$o=y$ («, [3 = o, i.-, a). 

 Les droites 



* = -«fca,i y— ??,?, («11 **. Pli Pi=0, 1,2) 



divisent le carré U en 81 rectangles dont les sommets gauches inférieurs 

 sont respectivement les points (#„,«,> Jp.pJ : désignons par U aXj Pi p ; celui de 

 ces rectangles dont le sommet gauche inférieur est le point (x aia> , Jp.p,)- 

 Supposons maintenant que nous avons déjà défini les rectangles 



S«,a,...a„ ...p.p,...^, et U a , aî .;. 0I „,p ) p....p„ («!, a, a„, (3,, (3„ .... (3„= o, 1, 2). 



