SÉANCE DU 25 AVRIL 1916. 63l 



Divisons chacun des rectangles U Bia ,...o„.^.Ap. en neu ^ rectangles égaux 

 et soit V a a a a n toujours celui d'entre eux qui est au milieu. 



Les indices oc,, a 2 , ..., a„, 3,, 3 2 , ..., 3 a étant donnés, désignons par 

 U V| ' * a,...'!, celui des rectangles U^ ... 5n ri fn dont le côté droit coïncide avec 

 le côté gauche du rectangle U Mi a ;5i B „ et par U Si a „ 8l ...3„ celui dont le 

 côté supérieur coïncide avec le côté intérieur du rectangle L ■»,...»„ .a, ...b„« 



A l'intérieur du rectangle V a . ^ 9n déterminons un rectangle 

 S'a, si„ s,.. B„ jouissant de la propriété P et contenu d'une part entre les paral- 

 lèles v — yÇ,. ïn a « et y = yi t . T „, £,...$„ et d'autre part entre les parallèles 

 x = ^....a.. 8,...8„ et - r = a7 'a,...a„,8 1 ...8„- (Dans le cas a, = ...= oc„ = o on doit 

 omettre l'une de ces conditions et dans le cas 3, = . . . = 3„ = o, l'autre.) 

 Les rectangles S ai fc '«" • seront ainsi dé ternaires par récurrence. Posons 



''a, .a„i — ■''» a„ ! !i 'V i„: — ^m,...!,, J -" 



yh...p mt = yi...i,t,...ï„ y? s.i=^...ï,p,...p. 



et désignons par R a Xn a 8n un rectangle formé par les droites 



* = a? ai ...a.ii « = ^^...«.1! .v y?i ■ ?■." y- = y?i ■ ■•?..«■ 

 Les droites 

 ar = #a 1 ...a„a 11+1 i .»' :::r .>>, i,,'?,^ , («i- ■••> a wH>Pi ÊWi = O, 1 , a ) 



divisent le carré U en 3 ,w+l rectangles dont les côtés gauches inférieurs sont 

 respectivement les points (x. Xi ,.„„„,, Je,. s„ ): désignons-les respectivement 

 par U ai In iiBi .. a n+i . 



Ainsi, ayant déjà défini (pour une valeur donnée de n) les rectangles 

 U 0tl ...a 1>> 8,...8») nous pourrons toujours définir les rectangles U«,...a B+li p t ...p. ,- 



Excluons maintenant du carré U l'intérieur du rectangle R et de tous les 



rectangles R a ,...a„,8,...p„ (<*■> •■•>*»> Pu ••■»?» = °> , » 2 î n = 1, 2, 3, . . .)■ 

 Désignons par K. l'ensemble de tous les points du carré LJ qui resteront : ce 

 sera évidemment une courbe cantorienne et tout point de la courbe C sera 

 un point de la courbe K. 



Soit maintenant / un nombre de l'intervalle (o, 1) et 



/ — (o, C,C 2 C 3 ...).-, 



son développement en fraction infinie à base 3. Posons 



o(0 = lim j\ vv . .,.,„ 4/(0 = lira j,. lC ._..,,„. 



