674 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



On sait que le système orthogonal de Stunn-Liouville 

 (I) u t (x), u t (x), ..., u n (x), ..., 



provenant de l'équation différentielle 



(H) 



dx 



I vïïi 



du 



-+- \</(x) -+- A | II = O, 



du 



(111) HlL_/(', / = o pour r = a. et ^— -i-H'« = o pour x 

 d.r ax 



se ramène par une substitution connue au système 



(1') 



(II') 



<',(*), ri(«), 



•»«(*), 





; 4-[Q(5) + à]p=o, 



(III) — /ir — o pour ; = o el 



4- Il r — o pour ; = 7T, 



■ P 



x) 



. r 1 </•* 



ou nous avons pose / , 



Il suffit évidemment de raisonner sur le système (F). Soit la série 



et X„ la valeur caractéristique du paramètre A pour la fonction ^(s). On 

 établit le lemme suivant à l'aide des formules asymptotiques (' ) 



(2) 





^(-Mr- 



,SV /a sme (1) es/ sommable partout dans l'intervalle (a, b) avec la somme 

 /"(;), on a, rfrms ce/ intervalle, 



lim^lîii = /(*)-[<?'(*)'" Q«(*)]*(a)-aQ'(*)»'(s) : -.aQ(s)F(*), 



8=0 ' 



ou 



(3) 



(4) 



*(?) = 



F(s) = 



ftl«'i(=) , ",■'':! (O 



a t v,(s) a,J',(5) 



X, 



A, 



a„ 



1 ') HonsoN. Proceedings 0/ llie London mathem. Society, W série, vol. (i, p. 378. 



