SÉANCE DU I er MAI 1916. 673 



La démonstration est fondée sur un lemnie de Fejer ('). En supposant, 

 en outre, /(:■) bornée et la série (4) uniformément convergente, nous 

 appliquons à $(«) le théorème de M. Riesz ( 2 ), d'où 



(5) V W=f, f E/(0-Q(OP(0]*'<& + Aa + B, 



puisqu'on a alors 



•»(») = F(j)-Q(3)»(*)î 



A et B sont des constantes dans l'intervalle (a, l>). En outre, si l'on a 

 lim«„= o, la série (4) converge uniformément et 



.. MF(z) F( s - i -S) — 2F(z)-hF(z — d) 



lim ^ — — lim 5 = o. 



= r J S = o t 



Théorème I. — Si la série (1) sommable partout dans l'intervalle (o, ~) 

 a pour somme zéro et si la série (4 ) converge uniformément, on a 



a„ = o (11 = 1, 2, 3, . .., x). 



F(z)v n (z)dz se transforme à l'aide de (II'), 



(III') et (5), oùy(s)^o, en s a = Cc,(o)+Dc„(it) avec Ç et I) con- 

 stantes; donc 



oc 00 oe . 



2 «»**(•) =J2[c+(-o"i>] +25. 



I ! 1 



La sommabilité supposée du premier membre entraîne la sommabilité 



de V[C + ( — iV'DJ, ce qui nécessite C = o; de même D = o et a„ = o. 



1 



Admettons maintenant qu'aux points d'un ensemble E la série (1) n'est 



pas simplement sommable ou sa somme n'égale pas zéro. Le théorème I 



reste encore exact lorsque E est réductible et, déplus, lima,, = o; alors F (s) 



est continue et lim , = o, ce qui prouve que A et B dans (5) restent 







invariables dans tout l'intervalle (o, z), malgré la présence des points 



(') L. Fejer, Unlersuchungen . . . (Mat hem. An/i., t. 08, § 2, p. 62) 

 ('-) M. Riesz, loc. cit., p. 67. 



