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Pour simplifier l'exposé, nous nous bornerons au cas de la forme quadra- 

 tique xx — T)yy n , où D est un entier réel positif; le groupe G est alors 

 celui des substitutions 



, h + Dv„ 



(0 S =-^TTT' 



À et v désignant des entiers complexes, qui ont pour conjugués A et v , et 

 qui satisfont uniquement à la condition 



(2) )J — Dvv„= 1. 



2. Réduction relative de certaines formes positives. — La sphère S,. repré- 

 sentative de la forme xx g — Dyy , a pour équation 



(3) x 2 +Y 2 -i-Z 2 — D=o; 



tout point de Z est l'image d'une forme positive d'Hermite, o(x,y). L'ex- 

 pression générale de ces formes œ est la suivante : 



(4) «p(.i-, J) = (K«-i- D)jcx 9 - 2bty.r - aD^-rn-f- D(ÇÇ -t- D)yy , 



expression dans laquelle Ç est un paramètre imaginaire et 'Ç a son conjugué; 

 on peut supposer, de plus, que le point analytique '( est à l'intérieur ou sur 

 le contour du cercle X 2 -t-Y 2 = D; Z = 0, équateur de la sphère S. Enfin 

 ce point est la projection stéréographique, sur le plan Z = o, à partir du 

 pôle sud de 2, du point représentatif de la forme ç. 



Cela posé, considérons une forme çp et appliquons-lui les substitutions 

 binaires (') qui répondent aux substitutions (1), à savoir 



„ | .*• = "/..r, -t- Dv t y t , 



V 5 ) 1 1 



I y— "1+ *<> ji. 



x et y B subissant la substitution imaginaire conjuguée: o deviendra une 

 forme du même type, soit o,, dont le premier coefficient sera ç(X, v). 

 Choisissons À, v, parmi les systèmes d'entiers liés par (2), de manière 

 que ç(A, v) soit le plus petit possible : nous dirons que <p, est une réduite 

 relative et que son premier coefficient est son minimum relatif. 



Nous appellerons domaine de réduction, et nous désignerons par <B , la 

 région du plan Z = o où se trouvent les points 'C qui répondent aux réduites 



(') Ces substitutions sont celles de déterminant + 1, qui n'altèrent pas la forme 



xx Dj/ . 



