SÉANCE DU 8 MAI 1916. 69g 



relatives; la projection de t0 sur la sphère Z, à partir du pôle sud, est la 

 région où se trouvent les points représentatifs des formes <p qui sont des 

 réduites relatives. 



Il est clair que deux formes s, équivalentes par une substitution du 

 type (5), donnent naissance aux mêmes réduites relatives et ont même 

 minimum relatif, c'est-à-dire même minimum pour des systèmes a?='X, 

 y = v, vérifiant (2). 



3. Recherche du domaine de réduction. — On trouvera (0 en écrivant 

 que la forme (4) est réduite relative; c'est-à-dire que, si l'on y remplace x, 

 Y, x ,y P ar A> v, X , Vp, elle prend une valeur supérieure ou égale à son 

 premier coefficient. On arrive ainsi, en tenant compte de (2), à l'inégalité 



(6) (ç_*Uç,_b)>JL. 



Elle exprime que le point Ç est extérieur à un cercle, que nous appellerons 

 cercle (X, v), dont le centre est le point analytique A : v et dont le rayon 

 est l'inverse de modv : le domaine cD est donc la région intérieure à Vêqua- 

 teurYi, et extérieure à tous les cercles (X, v); rappelons que X et v sont deux 

 entiers complexes assujettis seulement à vérifier (2). On abrégera beaucoup 

 la recherche de t0 par les remarques suivantes : 



i° Toutes les circonférences (A, v) sont orthogonales à l'équateur; 



2 L'origine, X, = o, est dans le domaine de réduction ; 



3° D'un cercle (X, v) se déduisent les cercles (— X, v); (X , v ); (l'X, v); 

 d'où l'on conclut que (Q Q est symétrique par rapport aux axes de coor- 

 données OX, OY et à leurs bissectrices. Dès lors, il suffira de chercher 

 k fermer, par des arcs de cercle (X, v), l'angle AOX, que forme OX avec 

 la bissectrice, OA, de OX et de OY; on en déduira, par les symétries 

 indiquées, un domaine, i0' , contenant O, et limité par des arcs (X, v). 



Pour que ©'„ soit le domaine (0 cherché, il faut et il suffit qu'aucune 

 circonférence (X, v) n'y pénétre : la manière la plus rapide de le recon- 

 naître sera évidemment de considérer les sommets '( de &>'„, de calculer, 

 par (4), la forme 9 répondant à chacun d'eux, et de vérifier que son pre- 

 mier coefficient est son minimum relatif. La vérification n'exigera qu'un 

 nombre limité d'essais. 



La méthode s'applique également aux sommets (paraboliques) de ffi* qui 

 peuvent être sur l'équateur. 



