700 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Observons ici que l'équation (6) de la circonférence (A, v) devient 

 indéterminée dans le cas de v = o(ce qui entraîne X = ±.i ou ± »), et 

 seulement dans ce cas; et que les cercles (eX, ev) coïncident, £ désignant 

 ±i ou ± i. 



Enfin, et c'est un résultat bien connu, si une forme s subit là substitu- 

 tion (5), le point u, projection stéréographique du point représentatif de (p, 

 subit la substitution (i) correspondante. 



4. Domaine fondamental du groupe G. — Je dis que la partie (0, du 

 domaine <» , située au-dessus de V axe OX, est un domaine fondamental pour 

 le groupe G des substitutions (i). 



i° Toute forme çp est réductible, par une substitution (5), à une réduite 

 relative (au moins); cela reviertt à dire que tout point 'Ç, intérieur ;'i l'équa- 

 teur, est transformable, par une substitution (i), en un point de u) . 



2° La substitution (i) où A = i, v = o, change '( en — 'Ç; dès lors tout 

 point 'Ç est transformable, par une substitution (i), en un point de OS. 



3° Deux points distincts, 'Ç et'Ç,, intérieurs à O, et dont l'un, '(, , peut même 

 <"tre sur le contour de <ô, ne sont jamais équivalents dans le groupe G. Soient 

 en effet cp(#, y) et s, (a-,, y,) les formes (4) qui répondent à ^ et Z,,, respec- 

 tivement, 



es = A.xx + . .. , a, = A ,.!-,. r l0 -+- 



Si nous admettons que '£ et Ç, s'équivalent dans G, c'est-à-dire par une 

 substitution (i), © et c&, s'équivalent par la substitution (5) correspondante : 

 on en conclut d'abord A, = A, car deux réduites relatives équivalentes 

 ont même minimum relatif, donc même premier coefficient. Et si X et v 

 désignent les coefficients de la substitution (5 ) en question, on aura 



cp(À,v) = A., 



et v ne sera pas nul. Car, par (2), v = o exige X = ± 1 , ou X = ± i" ; la 

 première hypothèse donnerait, dans (1), C ( = C et la seconde, £< = — Z, 

 conséquences à rejeter, puisque d et 'C sont distincts, et tous deux dans ED. 

 D'autre part, la relation ç(X,v) = A exprime que la circonférence (X,v), 

 bien déterminée (puisque v non nul), passe par le point v, résultat inad- 

 missible, puisque ce point est dans ce, où ne pénètre aucune circonfé- 

 rence (X, v), par définition même de co et de (D. 



On a donc établi ainsi que (D est, pour G, un domaine fondamental; 

 d'ailleurs des exemples montrent que (D ne coïncide pas toujours avec les 

 domaines que fournissent les autres méthodes. 



