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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorie des ensembles : Sur une propriété géné- 

 rale des ensembles de points. Note (') de M. W. Sierpinski, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Le but de cette Note est de démontrer le théorème suivant : 



Théorème. — Tout ensemble de points, situé sur le segment (0,1), mesurable 

 ou non, peut être décomposé en une somme de deux ensembles E = M -+- N 

 tels que N est un ensemble de mesure nulle et M se transforme en un ensemble 

 de mesure nulle par une transformation biunivoque et continue de l'inter- 

 valle (o, i) en lui-même. 



Démonstration. — Soit P, un ensemble parfait non dense de mesure - 



situé sur le segment I = (o,i) et contenant les points o et i, et soient 

 B n (n = i, 2,3, . . .) tous les intervalles contigus à l'ensemble P, et situés 

 sur I. Dans chacun des intervalles o„ plaçons un ensemble semblable à l'en- 

 semble P, (diminué en rapport des longueurs de ù n et I). Soit P 2 la somme 

 des ensembles, placés dans les intervalles à n (n = i, 2, 3, . . .). L'ensemble 

 P, -+- P 2 sera évidemment un ensemble parfait non dense : soient 

 8^(n = i,2, 3, ...) tous ses intervalles contigus. Dans chacun des inter- 

 valles o' n plaçons un ensemble semblable à l'ensemble P, et désignons 

 par P, la somme de ces ensembles. Sur l'ensemble parfait non dense 

 P, -f- P 2 + P3, opérons de même et ainsi de suite. Posons 



P = P,+ P,+ P,4-.... 



Nous aurons évidemment 



„ i( P 1 + p 2 + ...+ p„) = I + -i+...+ ' 



donc 



m{P) — i. 



Soit maintenant Q, un ensemble parfait non dense de mesure nulle, 

 situé sur I et contenant les points o et 1. Formons, en partant de l'en- 

 semble Q,, un ensemble Q de la même manière que nous avons obtenu 

 l'ensemble P en partant de l'ensemble P,. L'ensemble Q sera évidemment 

 de mesure nulle. 



(') Séance du 20 mars 1916. 



