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Ribaucour a démontré que si, à l'entrée, les droites d'une congruence 

 découpent un réseau sur une quadrique, il en est de même à la sortie. Celte 

 remarque donne une transformation du problème, transformation sur 

 laquelle je n'insiste pas, car elle fait partie des transformations déduites de 

 la tbéorie générale des réseaux associés. 



Je vais montrer comment on peut déterminer ces surfaces (M) : soient 



le déterminant ortbogonal qui correspond à la surface (M"); a, b, m, n les 

 rotations de ce déterminant. La première tangente du réseau (M) a pour 

 cosinus directeurs j3,, fi 2 , {3 3 . Cette droite MQ décrit une congruence qui, 

 en général, est 40, puisqu'elle est conjuguée au réseau (Q) qui est 50. 11 

 existe donc quatre fonctions £,, lj s , E 3 , ;. de u et v telles que 



ÊÏ + ?ï-t-« + 5î = 



1 ! 



Pi' 



3î- 



les fonctions H satisfaisant à la même équation de Laplace que les fonc- 

 tions J3, c'est-à-dire à l'équation 



(■) 



du di' n du dv 



Il résulte de là que les quantités ç forment la troisième ligne d'un déter- 

 minant de l'espace à quatre dimensions. Soient 



A,= 



,r, ./-, .?■., .r. 



li Çj \% ii 

 f\\ '(ii i* -s 'I: 



ce déterminant; A, B, E, F, M, N ses rotations. Les fonctions !j sont des 

 solutions de l'équation 



d 1 '- i dX 01 



(2) 



+ .\l\i. 



ou eJr N On <A 

 Pour que l'équation (2) soit identique à l'équation (1) il faut poser 



(3) M = ^m, N = V«, 



V étant une fonction de v seul; on est conduit à représenter les rotations 



