74 i ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ces formules montrent que le point ( v,, v,, v r , ) décrit, dans l'espace ordi- 

 naire, un réseau qui est deux fois 2O; on sait que ces systèmes se déduisent 

 facilement des systèmes O, 30. 



Le problème revient à la recherche des systèmes O, 30 de l'espace ordinaire 

 quand U se réduit à une constante. 



J'écris l'équation de la quadrique 



fi 

 a. 



.1 - 

 a., 



''j 



"; 



Faisons la transformation homographique 



•a 



7k' 



/3 = 



s/a-i 



La quadri([ue Q se transforme en une sphère Q,; le réseau tracé sur 

 cette sphère est un réseau orthogonal. Soient 



A' = 



le déterminant orthogonal correspondant; a', //, m', n' ses rotations. Les 

 cosinus directeurs de la seconde tangente à Q, sont y\, -f„, y'.,; les para- 

 mètres directeurs de la seconde tangente au réseau Q seront donc 



v/ar/i, \/a..-/.,, s/ôs/s- 

 Ces paramètres satisfont à l'équation 



(.3) 



du de 



1 dm' <>/ 

 m- dv du 



m' n'y 1 . 



En écrivant que la seconde tangente du réseau Q est une congruence C, 

 on aura 



«1 Vf + "2 Va 2 + f 'a */a 2 = '»' 2 U" H- V 2 . 



Par un choix convenable de la variable //, on peut réduire U àj'unité. 

 On a donc 



d'où 



' 1 11 iq I 



(«, + >0vr-t- (« 2 -+- À)y^ -+- < a»+ X)/ 3 2 = »i'*-+- V ! + 1, 



