SÉANCE DU l5 MAI 1916. 747 



ANALYSE mathématique. — Sur une équation intégrale de seconde espèce 

 admettant les fonctions kypersphèriques comme solutions fondamentales. 

 Note (') de M. .1. Kampé de Fériet, présentée par M. Appell. 



Soit, dans un espace à (ri -+- 2 (dimensions où les coordonnées sont z n ..., 

 -«+2î riivpersphère S 



la position d'un point M de S est donnée par les coordonnées (r , x„. o > 



ainsi définies ( 2 ) : 



;,— .£•,: -, .*„: 3„-u = s/X n cbso; 5 „ +2 =v^ sin< P 



(X„ — 1 — x\ — . . . — x\ ^o; o£<p ? it.). 



Une fonction hypersphérique U(M) = U(as„ .... x n , 9 ) est la valeur que 



prend en M un polynôme homogène de degré jjl, IL^s , z«+ 2 )> vérifiant 



l'équation de Laplace, A-IL — o. C'est une solution, régulière sur S, de 

 l'équation 



(1) ^(V) + (i((J.+ n)U = o, 



où £,(U) désigne le paramètre différentiel du deuxième ordre ( 3 ) 



, <)\ V à [ <H ( d\ <HJ\"1 



/, =1 



Le point M(r,, ...,.r„, z>) étant considéré comme mobile, prenons sur S un 

 point fixe P(v,, ...,,v„, •]>) et désignons par y l'angle 1VÏOP, 



cosy = ./•, _r,+ . . .+ .v„ r„ + \ \„ \/\f t cos(o — 'l ) 

 (où Y„=i— .»■;-... -y* ^o). 



Soit (x) le domaine de S pour lequel y > y ; la relation y = y définit 

 une multiplicité (ut.) à n dimensions qui limite le domaine (.*»). 



Les fonctions U et V étant régulières dans (,l,) ainsi que leurs dérivées 



I ') Séance du 8 mai 1916. 



(-) Noir ma Thèse, Sur les fonctions hyperspltériques. Paris, 1913. p. 9 et suiv. 

 (■') E. Beltrami, Sulla teorica générale dei paramètre differenziali (Memorte 

 délia Accademia délie Scienze dell' Istituto di Dologna. 2 série, t. 8, p. 571). 



