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jusqu'au deuxième ordre inclusivement, on a ( ' ) 



r n+l r" r ou à\ r i 



(2) / [U^(V)-Vi:(U)]rf^,= / V— -U — sin''- /n rfo,„. 



r/7„ vl désignant l'élément d'aire de S et sin"y </a>„ celui de (ifc). 



Prenons pour U une fonction hypersphérique et pour Y une fonction 

 dépendant de l'angle y seulement et telle que 



dV, 



V„ étant régulière, sauf pour y = o où 

 |sin»yV„| y= „=o, 



dy 



r' ' 



d\ u /— 



— \ - — 



2 



Si, dans la formule (2), nous faisons tendre y„ vers zéro, le domaine (-1) 

 tend vers l'hypersphère S tout entière; or 



u av„)rfow,=o 



et 



^iSi 



\„ £ ( U ) rfff n+ , = ix(n+n) \ „ U rfir nH 



(S) • s 



I )onc à la limite 



n 



(4) a-^ tL"(I j )=f(m + /0 / V„U(M)</<r„ +I . 



La fonction U apparaît ainsi comme une solution fondamentale, relative 

 à la valeur caractéristique jjl(uh-/i), de l'équation intégrale de deuxième 

 espèce, étendue à l'hypersphère S, ayant pour noyau 



Ir(3M..V« 



2 \ a 



Ce noyau, symétrique en (a;,, ..., i„, o) et (v,, ..., r„, r |), s'obtient 



( ' ) E. Beltrami, loc. cit., p. 5Si. 



