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par le côté de droite, il en résulte une seconde forme/';, ayant une racine co a 

 telle queto = 2 -+- û) 2 . En poursuivant l'opération on arrivera à une forme/,, , 

 ayant une racine to„ o telle que oj = a -+- w„ o . D'ailleurs a peut être nul. 

 Ensuite on est amené à sortir du domaine fondamental par la base, et l'on 



obtient une forme ayant une racine « ' = Donc 



Alors deux cas peuvent se présenter, parce que, lorsqu'on applique à un 



cercle orthogonal à Ox la transformation z — -> le sens dans lequel est 



parcouru le cercle reste le même ou change, suivant que le cercle coupe Ox 

 en deux points qui sont du même côté de ou non. 



Dans le premier cas, sur le nouveau cercle, on quittera encore le domaine 

 fondamental par la droite, et l'on arrivera à une nouvelle égalité 



1 

 iiïïï' 



d'où 



Dans l'autre cas, on arrivera à une égalité de la forme 



a { étant, dans les deux cas, un entier positif. 

 Et ainsi de suite. On trouvera ainsi 



'•> — «0 + 



les 1 étant égaux à ±1, d'ailleurs parfaitement déterminés; les a étant des 

 entiers positifs, sauf a„ qui peut être nul. 



On peut maintenant démontrer que la fraction continuelle indéfinie 



est convergente et représente to. 



Si l'on avait parcouru le cercle en sens inverse on aurait eu une fraction 

 continuelle représentant w'. 



On établit d'ailleurs facilement que lesréduites successives du dévelop- 



