SÉANCE DU 29 MAI 1916. 827 



On vérifie d'ailleurs directement et très rapidement celte formule. 

 De cette expression de ne, on déduit, A étant un nombre positif indépen- 

 dant de r, y et i, 



<J-ir ^çi (b — y) sli y.y -+- y sh oc (b — y) 



~ih 1 " Zà ~ P(i-h ch cxb) 



ou en posant 



it- = p, K=6ô, b—y = r j'b, 



avec 6 -4- 0' = 1 et C étant une constante positive, 



snKn- 2 + (0* + > -i-rr -+-( e -i- e )-rr + ••• 



-cy. 



dy 2 ^^ i i 2 o 2 i* p' 



2 -4- — ! 1 ■ h . . . 



2 ! 4 ! 



Remarquons que les quotients des mêmes puissances de i, au numérateur 

 et au dénominateur de la dernière fraction, satisfont aux relations 



• a 0*-+-.6' s 6 v -t-5' 4 5" +6" 



- > ; > : >■ . .>- >. ... 



2 ."> ."> « -+- 1 



Or quand a, a,, a 2 , . . ., />, 6,, i 2 étant des nombres positifs, on a 

 le quotient 



a a, «.1 a,, 



A ^ //, * b, > b„ 



a -+- a x jc -+- ct> J--H ... -H a„ j" 

 6 -4- /;,.*• -4- A, j 2 -i- . . . + b„.i" 



décroit constamment lorsque x croit de o à l'oc. On le vérifie en prenant la 

 dérivée et en constatant que les coefficients de son numérateur sont tous 

 négatifs. 



Donc la série qui entre dans la dérivée seconde de w est de la forme 

 A,sin/\r, i étant un nombre impair et A, un nombre positif qui décroit 

 constamment lorsque i croît et a pour limite o. 



Une pareille série, qu'on sait être ( ' ) convergente, a une valeur positive pour 

 toute valeur de x comprise en o et -. 



En effet, la formule de la somme de sinus d'arcs en progression arithmé- 

 tique donne 



sin 3. 



. , 1 -+- 1 

 sin- - — .; 



2 I — COS ( J -+- i).i- 



-1 11 X 2 SIM .1 



(' ) Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques, p. ^2 (Gaulhier-\ illars, 1906). 



