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Si Ton remplace dans le second membre /j?par une variable z, se modi- 

 fiant d'une façon continue, on y obtient une fonction périodique qui, 

 quand : croît à partir de o, prend successivement et périodiquement 



pour x -+- z = K- les valeurs o et -r— qui forment ses deux limites. Toutes 



r si n a; * 



les fois que z passe par les valeurs x, 3x, Sx, ..., le second membre devient 

 égal à la somme d'un certain nombre de termes de la série du premier 

 membre. Je puis poser, en remarquant que 



— cos(a; -(- z) 



z I sin (x +-s) </z, 



At sinx -t- A 3 sin 3 x -h. . . -+- A, sin ix = / A c : — dz, 



n ix r= / 



sin (z H- x) 



A. étant une fonction discontinue, prenant successivement les valeurs 

 A,, A 3 , ..., A, quand la variable s passe par les valeurs x, ix, Sx, . . ., ix 

 et la conservant jusqu'à ce qu'elle ait augmenté de deux unités. Si l'on fait 

 varier d'une façon continue les limites de l'intégration, le second membre 

 varie d'une façon continue. 



Les' sinus sont positifs et par conséquent la valeur de cette intégrale 

 croît lorsque, à sa limite supérieure, on a 



2Kn<s + x <'(2K + i)tt; 



elle décroît lorsque, à sa limite supérieure, on a 



( 2 K -1- j '^.< s -t- x < 2 (K -t- 1)7:. 



La fonction que représente l'intégrale atteint donc ses minima successifs 

 lorsque, à sa limite supérieure, on a 



X -!- z = 2 K.7T, 



K étant un entier quelconque. Or l'accroissement pendant chacune des 

 périodes de croissance est supérieur à la diminution subie pendant la 

 période de décroissance suivante, puisque A- diminue de valeur pour des 

 variations de s = ix < 2-, puisqu'on a x <^r.. Donc les minima de l'inté- 

 grale sont tous positifs, par suite elle est constamment positive. 

 L'expression 



A, sin.r -t- A 3 sin Sx ■+■ . . . ■+■ A, :sin 1 '.r. 



dont les valeurs sont toutes des valeurs de cette intégrale, est par conséquent 

 toujours positive et sa limite aussi. 



