868 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



CORRESPONDANCE. 



M""' G. Vasseur fait hommage à l'Académie d'un Ouvrage posthume de 

 son mari, intitulé : V origine de Marseille. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines classes de fonctions de variables 

 réelles. Note de M. Arnaud Denjoy, présentée par M. Emile Picard. 



Convenons de dire qu'une fonction |(r ) possède : i° la propriété (a) 

 si d< est la somme d'une série de fonctions continues ; i° la propriété ((3) si, 

 quels que soient a et b, tp prend entre a et b toute valeur comprise entre '}(<*) 

 et •}(&); 3° la propriété (y) si l'ensemble A < | < B est épais (ou de 

 mesure positive) quand il existe. 



Les propriétés (a ) et ( Jî) sont descriptives, c'est-à-dire se conservent par 

 une transformation continue croissante quelconque effectuée sur la variable 

 indépendante. La propriété (y) est métrique. Elle ne se maintient pas dans 

 toute transformation y{x) du type précédent, mais elle persiste moyennant 

 que y soit doué de nombres dérivés finis en tout point. 



Toute fonction de l'une des catégories suivantes possède la propriété (a.) : 



i° Une fonction tp, approximativement continue, c'est-à-dire remplissant 

 cette condition que, pour toute valeur de A, les ensembles <\i, < A, ip,> A 

 ont l'épaisseur bilatérale i en chacun de leurs points; et même une fonc- 

 tion/, à continuité approximative unilatérale vom un côté invariable, c'est- 

 à-dire telle que les ensembles y, < A et y, > A aient respectivement en 

 chacun de leurs points une épaisseur droite (ou en chacun de leurs points 

 une épaisseur gauche) égale à i, quel que soit A. 



2° Plus généralement une fonction ty 2 à continuité prépondérante, c'est- 

 à-dire telle que les ensembles •},< A et } 2 > A aient en chacun de leurs 

 points une épaisseur minimum (la plus petite de leurs deux épaisseurs infé- 

 rieures, droite et gauche) supérieure à 1:2; et même une fonction v 2 à con- 

 tinuité prépondérante unilatérale pour un côté invariable (les ensembles y 2 < A 

 el y 2 > A auront par exemple l'épaisseur inférieure droite plus grande 

 que 1 \i en chacun de leurs propres points). 



