SÉANCE DU 5 JUIN 1916. 869 



3° Une dérivée approximative ty 3 , c'est-à-dire une fonction rattachée à 



une fonction continue/(;r) de manière que, si VR(/", a, b) — - — t— -■ > 



pour toute valeur positive de e, l'ensemble E(»' , s) des points x ainsi 

 définis : |VR(/, x , x) — '\>(x ) | < 1, ait au point a? l'épaisseur bilaté- 

 rale 1, cette propriété de E(x , £ ) étant vraie pour tout point x ; et même 

 une dérivée approximative unilatérale pour un côté invariable 'fo(x) [l'en- 

 semble \Y\\(f,x ,x) — X 3 (# )l<^ £ possède en x a l'épaisseur 1 d'un 

 certain côté indépendant de x ). 



4° Plus généralement une dérivée <p, valant en tout point sur une épaisseur 

 supérieure à i'.i, à savoir une fonction 'l>i(x) liée à une fonction con- 

 tinue /(x) de façon que YR(/, x , x) tende vers ty t (x ) quand x tend 

 indifféremment vers x sans quitter un certain ensemble ayant en x a une 

 épaisseur définie supérieure à 1 ; 2 ; et même une dérivée unilatérale ty t valant 

 en tout point et pour un côté invariable sur une épaisseur ( unilatérale) supé- 

 rieure à 1 :2. 



5° Plus généralement un nombre dérivé (médian ou extrême) bilatéral 

 prépondérant'^, c'est-à-dire une fonction ■!, (x) se rattachant à une fonction 

 continue/de manière que les ensembles 



VR (/, a? ff! set) > 4/ (x ) - s et VR (/, r» , ./) < 'i (*„) •+• e 



aient l'un et l'autre une épaisseur minimum supérieureà 1 : 2 en x , quel que 

 soit e positif; et de même un nombre dérivé bilatéral prépondérant pour un 

 côté invariable fy s (x) ainsi conditionné que les ensembles 



VR(/,.r„/)> Zs (j; )-£ et VR (/, x , x) < / 5 ( jc ) + 6 



aient l'un et l'autre en^ du côté considéré leurs épaisseurs inférieures 

 plus grandes que 1 : 2. 



Une fonction^/ ne saurait admettre en un point deux nombres dérivés 

 distincts remplissant les conditions bilatérales de '^ 3 , d/ 4 ou 4*s n ' ce " es 

 de y 3 , •/_.,, y $ pour le côté considéré. D'ailleurs, ces six dernières fonctions 

 sont totalisables (voir Comptes rendus, i3 mars 191 6) et leur primitive, qui 

 est une fonction résoluble, est leur totale indéfinie (au sens élargi donné à 

 la totalisation dans cette même Note). 



6° Un nombre dérivé bilatéral *^ (x) supposé unique en tout point x. ■l ( , est 

 évidemment dérivé extrême bilatéral ou dérivée exacte unilatérale. Or on 

 sait (voir la même Note") qu'un dérivé extrême fini en tout point de côté et 

 de rang inconnus et variables esttotalisableetque sa primitive est résoluble 



C. R., 1916, 1" Semestre. (T. 162, N° 23.) * I2 



