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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. - Sur une classe particulière de congruences 

 de cercles. Note de M. C Guichakd. 



Je suppose que la confluence de cercles fait partie de ces congruences 

 spéciales étudiées par M. Darboux {Leçons, 2'' Partie, Chap. XV). .le vais 

 chercher dans quel cas il est possible de choisir, sur chaque cercle de la 

 congruence, un point M de telle sorte que les lignes de courbure de la 

 surface (M) correspondent aux. ligues principales de la congruence. La 

 congruence étant rapportée à ses lignes principales, on pourra faire corres- 

 pondre au système de cercles un réseau (IN) de l'espace à cinq dimensions. 

 Soient NS et NT les tangentes de ce réseau; £,,..., ; 5 les paramètres direc- 

 teurs de NS; y],, r) s , ..., y] 3 ceux de NT. La loi d'orthogonalité des éléments 

 fait correspondre au réseau (N) une congruence G; soient F et F' ses 

 foyers; L et L' les tangentes, autres que G, aux réseaux F et F ; \,, 

 V, . . ., \ les paramètres de G. Les quantités X, sont des solutions d'une 

 équation de la forme 



<J*X dX , à\ 



v ' <)// av <)u ov 



Je me placerai dans le cas où cette équation n'est pas intégrable par la 

 méthode de Laplace. On a, en outre, les relations 



(2) 



! v - v * v - ** X ' \ - <,X ' 



^ 2H,X,= , 



Ou ' de 



—- =0, 2ïli-r- 



1)11 ov 



2n,X,-=o, ifl,-— = 0, lf ll -——o. 



Il résulte de là que si une droite D de paramètres \ ,, Y 2 , ..., Y 5 est 



perpendiculaire aux tangentes NS et NT, c'est-à-dire si l'on a 



(3) l\,i,= o, 2Y ( ïi,= o, 



on pourra poser 



(4) Y, = A\, + I!^+CÇ, 



OU ()' 



A, H, C étant des fonctions de u et v. 



Gela posé, si le point M décrit une surface rapportée à ses lignes de 

 courbure, les cinq coordonnées pentasphériques de MO ,, — Y,) sont 



