SÉANCE DU l3 JUIN I916. 907 



solutions d'une équation de la forme 



à** ,,'^ r,à\ 



<)ll OV OU ov 



D'autre part, le point M étant sur le cercle, les quantités Y, satisfont 

 aux conditions (3), c'est-à-dire qu'elles ont la forme (4). On a, en outre, 



(ri) 2Y?.= 0. 



Or, si dans le premier membre de l'équation (5) on remplace Y par 

 (7) r- A* .i^.-r.'£ 



du ov 



et si l'on tient compte de l'équation (1), on obtiendra soit un résultat iden- 

 tiquement nul, soit ce que M. Darboux appelle une expression ( 2,2) (Leçons, 

 2 e Partie, Cliap. VIII). Dans ce dernier cas, cette expression devrait être 

 nulle quand on y remplace Y par chacune des cinq quantités Y,. Or, on 

 établit facilement le théorème suivant : 



Si une équation de la forme ( 1) nest pas intégrable par la méthode de 

 Lapider, une répression (m, /' ) ne peut pas être nulle pour plus de ni + n solu- 

 iious linéairement distinctes de cette équation. 



Il résulte de là que la substitution (7 ) fait correspondre à chaque solu- 

 tion Y de l'équation (1) une solution "\ de l'équation ( 5 ). I >c (elles substi- 

 tutions ont été étudiées complètement par M. Darboux ( loc. cit. ). En inter- 

 prétant géométriquement les résultats de M. Darboux, on peut dire : 



Il existe une droite D, ayant pour paramètres directeurs les quantités ï ,; 

 cette droite D décrit une congruence, congruence qui est I à cause de la 

 condition ((j). Cette congruence ( I ) ) peut avoir l'une des quatre positions 

 suivantes : 



i° Elle coincide avec G. 

 2 C'est une des congruences L ou L'. 

 1" Elle est harmonique à l'un des réseaux F ou F'. 

 4° Elle est harmonique à un réseau H conjugué à G. 



Je vais examiner successivement ces quatre cas : 



I. La congruence G est I. — Le réseau N sera I; on a donc un système de 

 cercles I ; ce système est formé de cercles points dont les courbes décrivent 



