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une surface rapportée à ses lignes de courbure, le plan du cercle étant le 

 plan tangent à la surface. 



II. La congruence L est I. — Le réseau N se déduit d'un réseau I par une 

 transformation de Laplace. Le système de cercles est formé par les cercles 

 oscillateurs à une série de lignes de courbure d'une surface. 



III. La congruence D est harmonique au réseau F . — Le réseau Fêtant 

 harmonique à une congruence 1 sera I ou 2I. De là deux cas : 



i° Le réseau F est I : le réseau N aura une tangente isolrope. Le système 

 est formé de cercles points dont les centres décrivent une surface rapportée 

 à ses lignes de courbure, le plan du cercle étant un plan principal de la 

 surface. 



2" Le réseau F est 2I : le réseau N aura une tangente qui décrit une con- 

 gruence 2]. L'une des sphères focales du cercle Nest 2I. Or les sphères 2I 

 sont ces sphères étudiées par M. Darboux, qui sont telles que les lignes de 

 courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe. Dans ce cas, 

 sur chaque cercle il y a deux points qui satisfont à la condition demandée. 



IV. La congruence D est harmonique à un réseau H conjugué à G. -- Le 

 réseau H, étant harmonique à une congruence I, sera I ou 2I; par suite la 

 congruence G qui lui est conjuguée sera ou 2O ; le réseau N est donc ( ) ou 

 2O. De là deux cas à distinguer : 



i° Le réseau N est O : le système de cercles correspondants est bien 

 connu, ce sont les cercles normaux à une famille de surfaces. Dans ce cas il 

 y a sur chaque cercle de la congruence une infinité de points M qui 

 répondent à la question. 



2 Le réseau N est 2O : on sait qu'il y a ce- congruences 2I conjuguées 

 à un réseau 2O. Il y a donc une double infinité de sphères 2I conjuguées à 

 la congruence de cercles. Or, quand un cercle et une sphère décrivent des 

 congruences conjuguées, le cercle passe par les points où la sphère touche 

 son enveloppe. Ici, ces points décrivent des surfaces rapportées à leurs lignes 

 de courbure. 



Remarque. -- Il peut se faire, dans certains cas particuliers, qu'une même 

 congruence de cercles possède deux des propriétés indiquées. Ainsi, par 

 exemple, il existe des surfaces particulières telles] que les cercles oscillateurs 

 aux lignes de courbure d'une série forment un système 2O. 



