SÉANCE DU l3 JUIN 1916. 909 



CORRESPOND ANGE. 



M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la 

 Correspondance : 



Les Volumes V et XII (2 e série) des Atti deff htituio botanico dell' 

 Università di Pavia, redalti da Giovanni Biuosi. 



analyse MATHÉMATIQUE. — Sur les fondements de la théorie de l'intégration. 

 Note ( ') de M. W.-II. Youxo, présentée par M. Hadamard. 



1. La théorie de l'intégration au sens de M. Lebesgue peut être tirée, 

 ainsi que je l'ai montré, de celle de l'intégration des fonctions semi- 

 continues de M. Baire, sans avoir recours à la théorie des ensembles. Il 

 suffit de suivre pas à pas Cauchy et M. Darboux : leurs idées conduisent 

 tout naturellement à l'intégrale des fonctions semi-continues. 



Pour abréger, nous appellerons fonction L une fonction semi-continue 

 inférieurement et fonction U une fonction semi-continue supérieurement. 

 L'intégrale d'une fonction L sera ce que M. Darboux a appelé l'intégrale 

 par défaut de cette fonction et l'intégrale d'une fonction LJ ne sera pas autre 

 chose que l'intégrale par excès de la fonction U considérée. 



Pour définir l'intégrale d'une fonction L, f(x), on part de la somme des 

 aires des rectangles employée par M. Darboux pour obtenir la définition 

 de l'intégrale par défaut. On démontre ensuite facilement que la 

 courbe y =f(x) est la limite des polygones formés par les frontières de 

 ces rectangles. L'intégrale par défaut est ainsi la mesure tout indiquée de 

 l'aire limitée par y—f(x). 



Les intégrales des fonctions U seront définies de la même façon : il suffit 

 de remplacer partout le mot inférieur par supérieur, le signe < par >. 



2. On retrouve facilement pour les intégrales des fonctions semi- 

 continues les propriétés des intégrales élémentaires. Nous utilisons, dans la 

 démonstration du théorème fondamental (n° 3), les suivantes : 



( ' ) Séance du 5 juin 1916. 



G. R., 1916, i« Semestre. (T. 162, N» 24.) "7 



