gio ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a. La fonction qui, en chaque point, est égale à la plus petite des deux 

 valeurs des fonctions f(x) et g(x), f(x) et g(x) étant toutes deux des fonc- 

 tions L (ou toutes deux des fonctions U) est une fonction du même type. 



b. Quand on a une suite monotone non décroissante de fonctions L 



b 1 (x)<b î (x)<...<b n (x)i..., 



la limite B(a?) de la suite est fonction L, et Von peut intégrer terme à terme : 



/ It(.r) dx — lim / b n {x)dx. 

 J a » = -■-', 



c. On a la formule 



f [/(.,) ±g{x)]ds>r= f /(./■) d.r±l g(x)dx. 



d. Si f(x)<g(x), on a 



I f(x)dx<j g{x)éx. 



» a ' il 



3. Théorème fondamental. — Si f(x) est limite d'une suite monotone de 

 fonctions /', (x), f.fx), ..., ayant chacune la propriété que la borne supérieure 

 des intégrales des fonctions U plus petites quelle, est égale à la borne inférieure 

 des intégrales des fonctions L plus grandes qu'elle, f(x) a la même propriété. 



Démontrons-le, pour une suite monotone non décroissante de fonctions 



(0 A(x)âA(*)±- ■■=/»(* ) = ••■■ 



Il résulte de l'hypothèse qu'à toute valeur de n, on peut faire corres- 

 pondre une fonction U, A n (x), et une fonction L, B„(.r'), telles qu'on a 



(2) A„(.f) </„(.r) <B„(.r), f B n (x)dxif K n {x) dx + e.r— 1 , 



Remplaçons les deux suites de fonctions A„ et 1>„ par deux nouvelles 

 suites de fonctions, a„ et b„, satisfaisant aux conditions précédentes, les 

 deux nouvelles suites étant non décroissantes. Nous obtiendrons ce résultat 

 en définissant par récurrence a„(x)(n^> 1) comme la fonction qui, en 

 chaque point du domaine, est égale à la plus grande des deux valeurs 

 de a„_ l (x) et A„(.r); b n (x) sera défini de la même manière. 



Nous aurons donc les suites monotones de fonctions U, L respectivement 



(3) o,(*)<a,(*)<..., 



(4) Mil^WÏ-ti 



