SÉANCE DU l3 JUIN I916. 91 I 



telles que 



(5) n n (.r)</„(.r)<l> n (x).... 



D'après la construction de ces fonctions auxiliaires, nous avons 



b,(x) — a,{jr) = 15, (j') — A, (.*•), ou bien B s (.z) -- A,(aî). 



Il en résulte 



/,,(.<■) -a. 2 (.v)S[B l{ ,r)- ^(.r)] + [B,_(x)-\,(.r)\. 



En utilisant les propriétés c et d du n° 2, il vient 



///., (.V 1 d.r — ! a,{ .r) dx 

 -',1 



= f B,(.c)t/.r- f k x (x)dx+l B t (jc)dx—f ^(.fir/^flr'+r'X^. 



On aura de même pour chaque entier n, 



r* C 1 ' 1 



(6) f />„{.r) dx — f a n {x)dx<.-e. 



'- 11 ^ a 



I » " . 



Or, d'une part, la limite de / b n {x) dx, quand n croit indéfiniment, est, 

 d'après />, l'intégrale de la fonction B(a?), limite de la suite (4); d'autre 

 part, / a„(x')dx reste toujours 1 (U), où (U) est la borne supérieure des 

 intégrales des fonctions U plus petites que /(•#). Donc 



( 7 ) f H,.,u/.r-t;<i e . 



*-" il 



Mais, d'après (5), f(œ) tB (w). Par suite la fonction j },^_^ estime 

 fonction L plus grande que /(.*)etsonintégraleestplus petite que (U) -+- e. 



Ceci démontre que la borne inférieure des intégrales des fonctions L plus 

 grandes que f{oc) est 5(U) -+- e, et, par suite, = (U), car e est une quantité 

 positive aussi petite qu'on veut. 



Mais, d'après d, cette borne inférieure ne peut pas être plus petite 

 que(U). Donc elle est égale à (U). Notre théorème est démontré. 



4. Une fonction semi-continue f(x) possède la propriété en question. 

 En effet, supposons que/( x) soit une fonction L. D'une part,/(.r) -+- T n 

 est une fonction L plus grande que /(■»), dont l'intégrale diffère de celle 

 de/(.r) d'aussi peu qu'on veut; il suffit pour cela de choisir l'entier n assez 

 grand. D'autre part (n° [) f(x) est la limite d'une suite monotone ascen- 



