912 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dante de fonctions U simples, dont les représentations géométriques con- 

 stituent les frontières des rectangles définissant l'intégrale de f(x). Les 

 intégrales de ces fonctions U simples ont l'intégrale de f(x) pour limite. 

 De ces deux faits résulte immédiatement que l'intégrale de /(se) est elle- 

 même à la fois la borne inférieure des intégrales des fonctions L plus 

 grandes que f(x) et la borne supérieure des intégrales des fonctions U 

 plus petites que f (ce). 



5. Il résulte de notre théorème fondamental, que toute fonction qui peut 

 être obtenue, en partant de fonctions semi-continues, à l'aide de suites mo- 

 notones, possède la propriété indiquée dans le théorème fondamental. Mais 

 toutes les fonctions représentables analytiquement rentrent dans cette caté- 

 gorie. Nous pouvons donc définir l'intégrale d'une telle fonction comme 

 égale à notre borne commune, pourvu que celle-ci soit finie. 



Les difficultés de la théorie sont vaincues; tous les théorèmes classiques 

 de M. Lebesgue peuvent maintenant être obtenus en quelques lignes et 

 s'étendent aux intégrales dans lesquelles la variable d'intégration est rem- 

 placée par une fonction monotone. 



PHYSIQUE. — Sur une balance densimélrique à lecture directe. 

 Note de M. C. Chéneveau, présentée par M. E. Bouty. 



Cette balance permet d'obtenir instantanément, par une simple lecture, 

 la densité d'un liquide comprise entre o et 2, 5 à une unité près du troisième 

 ordre décimal. 



Elle consiste, en principe, en un fléau coudé, sur lequel l'action d'un 

 poids équilibreur compense les effets combinés du poids d'un flotteur en 

 verre, de 10 e '"', plongeant dans le liquide dont on veut déterminer la den- 

 sité, et de la poussée qu'il subit. L'une des extrémités du fléau porte un 

 plateau, l'autre extrémité une aiguille qui se déplace sur un cadran, divisé 

 en 100 parties égales, dont les limites correspondent à la position d'équi- 

 libre dans l'air (o) ou dans l'eau à i5° (1). 



La théorie de la balance montre que, lorsque le flotteur plonge dans un 

 liquide de densité D, l'inclinaison a du fléau est telle que 



C) ? = -l^—' 



: 1_c 



tanga 



