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A vrai dire, dans un Mémoire des Maihemalische Annalen ( l. 75, 1 9 1 4 ) , 

 M. Richard Fuchs a étudié l'allure des intégrales de (VI) dans le voisinage 

 de leurs singularités transcendantes; mais sa méthode est sans valeur et ses 

 conclusions sont inexactes. Entre autres graves erreurs, qu'il me suffise de 

 citer son point de départ. Après avoir supposé a priori qu'il existe des 

 intégrales telles que, pour ( ' ) / = o, \ = o == t'/.', il s'eH'orce de montrer, 

 par la méthode des majorantes, qu'il existe des intégrales dépendant de 

 deux constantes arbitraires et vérifiant ces conditions; puis il en conclut 

 que toutes les intégrales de (VI) satisfont aux mêmes conditions. 



En définitive, on ignorait donc jusqu'ici l'allure des intégrales de ( VI) 

 dans le voisinage de / — o, 1, oc; c'est cette élude que j'ai approfondie et 

 dont je résumerai ici les résultats. 



2. Tout d'abord, les points o, 1, ocs'échangeant dans les transformations 

 de (VI) en elle-même, on peut se borner à étudier le premier. Soit alors Y) un 

 nombre positif arbitrairement petit; posons T == log/ '/ ( | /„ | < 1) et envi- 

 sageons la région ji du plan T dont les points ont leurs arguments compris 



entre- 1 -+- yi et-- — yi. En modifiant légèrement une dénomination de 

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M. P. Boutroux, j'appellerai caractéristique de (VI) toute branche d'intégrale 



suivie le long d'un rayon OA de A. Ceci posé, le problème que j'ai traité 



peut être subdivisé en trois étapes successives : 



i° Construction par approximations successives de caractéristiques véri- 

 fiant (VI) (en général, les expressions qui les représentent ne sont valables 

 que dans une partie de A). 



2 Démonstration que les caractéristiques obtenues sont les seules possibles 

 (c'est la partie la plus cachée du problème). 



3° Représentation d'une intégrale dans Si au moyen de caractéristiques con- 

 venablement assemblées | cette synthèse de l'intégrale une fois achevée, les 

 singularités de (VI) apparaissent comme d'un type absolument nouveau |. 

 Dans cette Note, je me bornerai à quelques indications sur une partie des 

 résultats du i°. 



3. Les caractéristiques que j'ai obtenues sont de deux espèces distinctes , 

 les théories (je ces deux espèces étant identiques, je me limiterai à celles de 



(') L'auteur ne précise pas le chemin suivant lequel il fait tendre / vers o: prati- 

 quement, il opère comme si ce chemin était rectiligne. 



