SÉANCE DU 19 JUIN 1916. q43 



L'angle ty est l'angle du grand axe de l'ellipse avec OX. Il se détermine 

 par la condition que la surface libre (G = — i) et la verticale ( = - J sont 

 conjuguées; ce qui s'exprime par la relation 



tang(— i — iJ<)cotiJ;4- tangM 7 — |j =0, 



relation qui peut être remplacée par la suivante : 



sin2il/.sin © -t- cos2i};. tangj 4- tangt.sincp =r o. 



Si l'on pose x = sin2'j', y = cos2^, on a 



y -f 



sincp tangt 



équation d'une droite qui, par son intersection avec le cercle x a -\~y a = 1, 

 donne les deux valeurs de l'angle 2 -ji vérifiant la relation ci-dessus. 

 L'angle ty à choisir est celui qui correspond à l'équilibre limite par affaisse- 

 ment : c'est celui qui se rapproche le plus de la verticale. 



Pour déterminer a et (3, déjà liés par la relation d'équilibre limite de 



Rankine : % = tang 2 ( - — - ), on a la- condition de raccordement avec la 



(3 » \4 2/ 



spirale logarithmique. On trouve aisément : 



1 / U + ?~-®)t>ng<f fit <p\ 



a = — = = /e vr 4 2 / cos T — — )> 



7f 



1 (■'■ ■ * 





a et b sont les deux axes de l'ellipse. 



Le moment de la poussée par rapport au point O, égal au moment du 

 poids du prisme délimité par le contour dont les éléments subissent des 

 poussées convergentes, est exprimé au moyen de l'intégrale 



p= fjp 3 cos6dd. 



Les valeurs de p données ci-dessus permettent d'effectuer les quadratures. 

 On trouve pour l'ellipse 



Fo=3 



b 1 cos (6 — tj>) sincp -H « 2 sin(9 — - 1|>) cosij' 



r cos^fl — tj>) sin'(0 — il)" 



