976 ACADÉMIE DES SCIb'NCES. 



1 /• . • j/ \ • i dS il~* 



I. Aucune /onction continue 9(x) n a -=- = + oc ou -j-'— — yi pour un 



' d.r d.v ' 



ensemble de points de mesure non nulle. 



II. Si f(x) est mesurable dans un intervalle et p irloui ' Jinie, sauf peut-être 

 les points d'un ensemble de mesure nulle, il existe une fonction S{x) continue 

 dans l'intervalle entier, telle qu'elle admette J(x) pour dérivée ordinaire, 

 sauf peut-être aux points d'un ensemble de mesure nulle. 



Les démonstrations de ces théorèmes ont paru en russe (Recueil de la 

 Soc. math, de Moscou, igi 1). Le premier a été retrouvé récemment par 

 M. Dcnjoy dans son fort intéressant Mémoire sur les nombres dérivés (Joiirn. 

 de Math., 191")). Le but de cette Note est la démonstration du second 

 théorème. 



1. LtMME. — Si §>(x) est continue dans l'intervalle (a, b ), il existe toujours 

 une Jonction W(x) continue dans (a, b) jouissant des propriétés : 



i° W(x) = o presque partout dans (a, b); 2 W(ft) = *(«)) y i'(b) = $(b); 

 3° | W(x) — $(a;) | <£ dans (a, b), e > o aussi petit qu'on veut. 



Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental IL 



3. Eléments de la primitive. — La fonction donnée f(x) étant mesu- 

 rable (L) et finie presque partout dans (o, 1), il existe, en vertu de la 

 « C-propriété » des fonctions mesurables (Noie citée, p. 1G88)., une suite 

 d'ensembles parfaits non denses P,, V.,, . .., P„. ... jouissant des propriétés : 



i° Les ensembles P, et Pj(i^j) n'ont pas de points communs; 

 2 Mes.(P, -1- P,-f- P 3 + ...-+- P„-t- ...) = 1; 3° La fonction f(x) est 

 continue dans P„ (relativement à P„), n = 1, 2, 3, .... 



Désignons par 0" (A = 1 , 2, 3, . . .) les intervalles contigus à P„; soit /.„ 

 assez grand pour qu'on ait, « étant donné, V Mes.o/' < Mes.P„. 



Supprimons de (o, 1) les intervalles o," , o 1 " , . . ., 0," ; les points restants 

 sont ceux de certains intervalles A'" 1 , A,"', ..., A>" ! _, de longueur totale 

 inférieure à 2Mes.P„; soit g"„> o le plus petit des nombres positifs 



Mes. A',"\ ..., Mes.A-;;;^. 



Considérons la fonction f n (x) égale h f(x) pour x dans P„, et à zéro 



ailleurs; soit $„(&■) = / f n (x)dx (au sens de M. Lebesgue); $„(.r) est 



continue dans (o, 1) et constante dans chacun des intervalles 0," . 



