SÉANCE DU 26 JUIN 1916. 977 



Formons enfin (le m me précédent) une fonction l l r „(j-) continue 

 dans (o, 1) et jouissant des propriétés : 



1" W n (x) = $ n (x) dans les X n intervalles S,"', of , ..., 8£'_ t ; 2°W ll (x)^o 



presque partout dans (o, 1); 3° | W„(x) — <I>„(.r) | < ^ dans (o, 1). 



Posons maintenant 



£,(x), ..., $„(x), ...jouissent évidemment des propriétés suivantes : 

 i° ^(.z 1 ) est continue dans (o, 1); 2°|# n (,c)|<[ ^-dans (o, 1); 3° #„(#•) = 



dans les A„ intervalles o'," 1 , S','", . .., S)"'; 4° $' n (&) =./(- r ) presque partout 

 dans l'ensemble P„ ; 5° #'„(.*) = o presque partout en dehors de P„. 



Cela posé, définissons une fonction ^(r) par l'égalité suivante : 



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?(\v) est continue, en vertu de i° et 2", dans (o, 1 ). Nous allons démontrer 

 que celle Jonc/ion l?(ic) est une primitive de f{ac). 



4. £es dérivées $ n (x). — Nous avons (4°, 5°) ^,( a? ) —f( x ) dans P„, 

 sauf aux points d'un ensemble K„ de mesure nulle; #^(.r) = o en dehors 

 de P„, sauf sur un ensemble L„ de mesure nulle. Désignons par S l'ensemble- 

 somme V(K n +L,), Mes.S = o. En chaque point x non appartenant 



à S, toutes les fonctions $ t (x), $ 2 (x), ..., #„(.r), ... ont des dérivées, 

 lesquelles sont nulles, sauf une et une seule, égale à /(x). 



.*>. L'ensemble fondamental R. — Soit V"' un intervalle qui a même 



milieu que A'" et de longueur 3Mes.A"". Soit E„ l'ensemble des points 



qui appartiennent à l'un des A„ — i intervalles U 1 "', U'."', ..., Ux'i.,. 

 ( = >„- 1 



On a Mes.E„<3 V Mes. X" < (i Mes.P,,. Soit T un ensemble-limite 

 1=1 



complet des ensembles E ( , E 2 , . . ., E„, La série V Mes.E,, étant con- 



vergente, ou a Mes. T = o. Enlevons du domaine (0,1) tous les points de S 

 et de T, et appelons ensemble fondamental l'ensemble R restant. Mes.R=i . 



(i. Existence de la primitive. — Tout revient à montrer que §(x) admet/(.r) 



