﻿primitive') de l'étiualion .r'"'""^ ' = 1, dans lacjuelle ;»i est un entier positif (juel- 

 conque, et en posant s =- au, ii étant une quantité réelle située (ians l'intervalle 



< u < 1, 

 nous avons démontré la l'ormule-) 



^ r{rm-\-t)lu[ \ — ur'" + * ' ^ ' i . ■ 3 i 4| 



où nous avons posé pour abréger: 



P = m— 1 p = rm + 1 



' ~ ^- 1 — ^rp-rr.7/^+ 1 ' ^. l_Iarp + <urp+7 ' 

 P = l r= m+1 



(2) 



p = 1 p = m + 1 



X"^ y r(^rm-{-rj./u-a • -u'i • •sinr{rm-\-i)yiu ay ,,. 



''-^'' r (rm+ /) • lu ■ a'- P+' ■ „ t "•"'+"+p'-+ ' . sin r (rm+ t)ylu ^ 



1 -2./"+' u 2 ^'■'"+'^+P'-+' cos /• (rm+t) y lu + «''•''+'' „'•('■'"+"+2p'-+2' '^"" + ^ 



p = ™+/^ ^(^^^ ^^ . ^^ . a'-P+'oi<'-'" +'i:+P'-+t ■ sinr(r/n+ Oy/H dy 



Al 3„ l-2a'-P+'«^"-'"+''+P'-+'cosr(rm + 0y/« + «''''+""'"'""^"^''''^' e="^ + r 

 r'°° /u • ü(^+^) ('•"' +') . sin r (r/n + f)t//u _rfj/ 



Le logarithme a sa détermination principale. 



En étudiant la formule (2) nous sommes arrivé à ce résultat que le cercle de 

 convergence est une coupure essentielle pour les fonctions F{s). 



Les recherches suivantes ont pour but de déterminer le caractère des singu- 

 larités de certaines fonctions spéciales de la forme (1) sur le cercle de convergence 

 et, comme nous le verrons, les fonctions jouissent de propriétés très remarquables. 

 C'est pour simplifier les calculs que nous traitons des fonctions spéciales et non 

 pas la fonction la plus générale de la forme (1). 



Comme nous l'avons dit, on conclut de l'équation (2) que la fonction F{s) ne 

 pourra être prolongée au-delà du cercle de convergence, et pour le faire voir il 

 faut examiner comment varient les modules des quantités que nous avons désignées 

 par les lettres F^, F,, F.^ et F^ quand u tend vers l'unité. 



Quand aux quantités F^ et F., on voit tout de suite qu'elles ont des valeurs 

 finies four ü ==- 1. 



') La dénomination de racine primitive est employée en ce sens que ladite racine ne doit pas 

 satisfaire à une équation de la même forme correspondant à une valeur inférieure de ni. 

 ') L'équation (10) page 11 dans la note citée. 



