﻿V[l~2ak coa/iylk -{-' (2a' —1) k'']' + 4A--(1 — a''')[cos//y/Ä- — a/c]" 



> -L y 1 1 - 2afc • "-^*^2F^" + (2a'— 1)H' + 4F (1— a^) [' 



2k """I 



> + (l— F)l/1 — a^ 

 On oblienl ainsi: 



|/| < 

 el ;i fortiori : 



I/: < 



Ik • sin /iylk \ dy 



(1— F)il/1— a^! c^'^tf+l 



S 00 

 o 



(1- 



Posons encore k= 1 — c. Pour des valeurs assez pelitt;s de e on a ,[k - 2 e, 

 d'où il suit: 



/i 4e V ydy 



' ' = '\Vl—a^l "2-2 ] e2'^.v + l 



Cette inégalité montre (jue le module de l'intégrale / converge vers zéro en 

 faisant tendre vers zéro la quantité s, pourvu que la quantité réelle a soit 

 différente de +1 ou — !• Dans ces deux cas l'inégalité ne nous dit rien en ce 

 qui concerne le module de /. 



Nous sommes ainsi forcés d'étudier ces deux cas particulièrement. D'abord 

 nous remarquons que nous avons posé 



ai-p+t = a+ib, 

 où a désigne une racine primitive de l'équation .r'""' + '=l. On voit dès lors (ju'il 

 faut donner à /> la valeur de m pour que a aie la valeur de + 1 et la valeur de 



~2F~ P"""" 1^^ a ^iß l3 valeur de — 1. 



Comme on le voit par l'équation (3), la quantité Fg est composée des inté- 

 grales qui correspondent aux valeurs suivantes de jo; 



p = 1, 2, 3 ... . m — l, 777+1, .... /•777 + ^ 



Le nombre 7Ji ne se trouve pas dans cette série, mais il peut arriver qu'elle 

 contienne le nombre - et il nous faut alors considérer l'intégrale 



Ik sin fjylk dy 



^' — * l+2/ccos//y/fc + A-- e2;r,/_|_l 



à lacjuelle se réduit l'intégrale / en posant a-^ib=- — 1. I^a fraction sous le signe \ 

 ne converge pas uniformément vers zéro quand A- tend vers l'unité, mais néanmoins 

 l'intégrale s'évanouit pour /c = 1 comme nous allons le montrer à présent. 



