﻿Supposons donnée une quantité réelle positive o aussi pelite t(u'on voudra. 

 Nous écrivons l'intégrale /, sous la forme 



1 



y" Ik ■ s'm fjtylk d y 



°" ) î + 2k cos fzyîkT P ' ^^+ 1 ' 



_ . Ik • s'm /jtylk dy 



'" ^ 2k cos nylk + ¥- ' e^'^w + 1 ' 



s et ( 

 ) 4(1— e) COS- 



■■yZ(l-.) + .^ e^'^i' + l 



Posons encore /r = 1 — s et considérons d'abord l'intégrale /^ 



-g) sin //{//(! — £) rf{/_ 



2 



Pour des valeurs de y dans l'intervalle 0<^y<^^ la fraction 

 1(1 — £)sin;KyZ(l — s) 

 4(l-c)cos-^|-yZ(l-£) + £'^ 

 convergera uniformément vers zéro pour s = 0. 



Pour le faire voir, il faut démontrer que l'inégalité 



/(l-£)|-|sin;/y/(l-£)| 



< rî (4) 



4 (1 —s) cosä|- y / (1 — e) -f £2 

 est satisfaite pour des valeurs de s assez petites quelle que soit la valeur de y 

 dans l'intervalle < y <^ -. . 

 Dans cet intervalle on a: 

 lsin/iy/(l-£) = 2 sin|y/(l-£) • cos| y/(l-£) < /^y /(l— s)| • |cos |y/(l-£)| 



< ||/(l-£)|.lcos|yZ(l-£)|. 

 Supposons maintenant la quantité s si petite qu'on ait 



IUl-e)| < ~, 

 il en résulte: 



|sin,«y/(l-£)| < ^^|cos|y/(l-£)|. 



Il s'ensuit que l'inégalité (4) sera satisfaite pour toute valeur de cos-^y/(l — e) 

 qui satisfait à l'inégalité 



.|7(l-£)|.^.|cosfyZ(l-e)j 



i(l-s)cos''^yl(l~s) + s' 



