﻿J _ ^ /Ar • sin fiylk dy 



* ~ ) 1 — 2k cos fzijlk -{- k^' ' e^'v+l " 



Pour A- = 1 la fonction sous le signe jj prend la forme ^; or elle a une vraie 

 valeur finie, ce qu'on voit par un calcul élémentaire. Dans le paragraphe suivant 

 nous déterminons la limite vers laquelle converge l'intégrale /^ en faisant tendre 

 u vers l'unité. Mais il suffit à présent de savoir que le module de I^ reste fini 

 pour A' = 1, se qu'on voit aisément. 



Posons encore A- = 1 — e, e étant une quantité réelle positive. Pour des 

 valeurs assez petites de s et quelle que soit la valeur de y >^ nous allons 

 démontrer qu'on a: 



j l (1 — s) ■ &in figl (l — £) I 



11- 2(l-e)cos/.yZ(l-£)+(l-e)='| ^ '• ^""^ 



Nous mettons cette inégalité sous la forme: 



/(l-s)|-|sin/zy/(l-£)| < 4(l-£)sinä|-j/Z(l-£) + £^. 



Il est évident que cette inégalité est satisfaite par des valeurs de e et de y, 

 pour lesquelles l'inégalité 



2 Z(l-e)| . |sin|-yZ(l-£)| < 4(1 - s) sin^'| {//(l-e) + e"^ 



est remplie. 



Ecrivons cette inégalité sous la forme: 



< 4(l-e)sin-^|-i//(l-£)-2|Z(l~£)|.jsin|-y/(l-£)|+£^ 



La condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme du second membre 

 soit positif quelle que soit la valeur de y, est: 



P(.\—b) < 4sHl-s). 



On voit tout de suite que cette condition a lieu pour des valeurs de s assez 

 petites. Il suffit de supposer /(l — s) <y£, ce qui est toujours permis. 



La démonstration de l'existence de l'inégalité (5) est ainsi établie, et on a par 

 conséquent: 



dg 



l: 



l^^l < » e27ryTl 



d'où on conclut que le module de /^ ne pourra être infini pour A:= 1. 



D'après toutes ces remarques nous sommes en mesure d'examiner comment 

 varie le module de la fonction F(au), quand u tend vers l'unité. 



Considérons l'équation (2) de la page 4. Nous savons à présent que les 

 modules des quantités F^, F2, F^, F_^ restent finis pour u=l. Quant à la fraction 



r( r/n 4- f)u '•'"+' lu 

 ~ 1 — u'''"+' 



elle a pour limite — 1 et le terme / ( 1 — u 'ï "^ ^^ ^"" ""^ '^) croît à l'infini pour u = 1. 



1). K. I). Vidensk Selsk. Skr., 7. K;L-kkc. niituiviileiisk. nii iiKillieni. Al'il. VI 1. 2 



