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En d'autres termes, le module de F{au) surpasse chaque limite finie, quand 

 u tend vers l'unité, c'est-à-dire que le module de F [s) croît indéfiniment quand le 



2pni 



variable s s'approche d'un point du cercle de convergence s = erîn+t suivant le 

 rayon vecteur. 



Or, sur un arc de la circonférence aussi petit qu'on voudra, il y a un nombre 

 infini de ces points, et par consequent la fonction F(s) ne pourra être prolongée 

 au-delà de ce cercle. 



§ 3. Dans les paragraphes qui vont suivre nous ne nous occuperons plus de 

 la fonction la plus générale de la forme (1). Au contraire nous allons traiter des 

 fonctions spéciales de cette forme et notre but est de faire une étude détaillée du 

 caractère des singularités des fonctions considérées sur le cercle de convergence et 

 d'établir des développements asymptotiques pour les fonctions en question. 



Nous commençons par traiter la série de Lambert L{s) définie par l'équation 



n = l 



Cette fonction est un cas spécial des fonctions F [s). 



En posant / =0 et r=\ dans l'équation (2) on aura la formule: 



p = m — 1 p = ni — 1 



V ' nPliP u'" 1 V ' "' , 1 3»! 



^<«"> =2. l^u.+ 1-wn + lnla 2 '^'-'^'^'''^ + lnlu '^-^'^ ^'^ 

 p=i p=i 



p =m— 1 (' m 



'y^ y gPuj+P sin my lu dy 



^ .\ l-2«Pü?+^cos my/u + «=^^u"'+^^ ' '""' + '^ 



3 m 



j U 2 sin mylu dy 



l-2«f cosmy/a+«^"' '"^ + '^ 

 m étant un entier positif quelconque et a désignant une racine primitive de 

 l'équation æ"' = 1. 



Faisons tendre maintenant u vers l'unité dans l'équation (6). Le second 



ij = 111- 1 

 membre de cette équation contient la série ^ :. ^^, qui pour u = 1 prend la 



p = m — 1 P = l 



X~^ aP 



forme > . Pour trouver la somme de cette série, nous remarquons que 



.^^ l — aP 

 p = i 



toutes les racines de l'équation x"' = 1 sont les nombres 



1, a, a- «"'-1 



ce qui entraîne qu'on a identiquement 



(æ— l)(a--a)(.r — a-) .... (.T-a"'-i) = .v'" - 1 



