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L'intégrale (9j jouit de la même propriété, ce qu'on démontre en modifianl 

 un peu la démonstration du paragraphe précédent. 



Supposons donnée une quantité réelle positive d aussi petite qu'on voudra et 



divisons l'intégrale (9) en deux parties Ai et A., de manière qu'on pose; 

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. _ i sin fiylk cCy 



■^1 — 



1 — 2 (a + ib) k cos uylk + {a + iby k^ e^'V + 1 



4 _ r si n fiylk dy 



2 ^ j 1 - 2 (a + zfc) /c cos fjtylk + (a + ityk' ' e^"^ + 1 



Nous savons par la page (6) qu'on a 



\\ — 2 {a +ib)k cos tiylk^ {a ->ribYk'\ ^ {l — k-) -IVl—a^l 

 quelle que soit la valeur de y et par conséquent 



'.y\lk\ dy 



\A,\ < 



J^(l-P 



)-|V'l— a'-*! e2T9 + l 



Posons k = 1 — s, s positif, et supposons qu'on ait j/{l— s) < 2 e. On obtient 

 alors: 



/j „ 2 ^ _ydy_ 



\Vl—a'\ 2— e \^^e?"y+l 



et à fortiori (voir page 8): 



2f^ 



< 



Considérons alors l'intégrale A^. On a: 



i 1 — 2(a4- !&)*■ cos/^y/fc + (a + ift)3P I 



= + K [1 — 2a/c cos juylk + (a^ — fc^) k^f + 45^^ [cos //y/fr — akf 



d'où il suit: 



1— 2(a+ift)/ccos/iy//f+(a+jfc)2A'2! > 2fcArj tcos^y/A — a^i. 



En développant la fonction cos /jylk — ak en série de Taylor on obtient: 



,, , . . fi'y'Pk.u'y'l'k ,u'y<^l'k. ^,_, 



cos (jylk —ak = 1 — ak- ^-^ \ |-j ^-^ h (10) 



Pour des valeurs de y dans l'intervalle < y <^ -jr on a : 



fi''y''l'^k fi*y^l*k 

 6! ^ ^ÏT^ 

 c'est-à-dire: 



/iy i /A-| < V3Ö 



en considérant seulement des valeurs de A* si près de l'unité, qu'on a /A < 3^, ce 

 qu'il est toujours possible de faire. 



