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Il sail de réquatioii (10) cju'on a: 



co^ ft ylk — ak\ > 1 — ak — ^, 

 car pour des valeurs considérées de y et de Ik on a: 



2! ^ 2!"^^ <- o- 



Or rien n'empêche de supposer â <. |-(1 — ak), de sorte qu'on a 

 I cos^j/ZÆ — a/f I > 1(1 — afc). 

 Cela posé, on a: 



\lk\ dy 



lA.I < 





2k)\2bk\ é^^n + l 



"0 



d'où il suit : 



'^il < k\b\H — ak) ^ 



en désignant par la constante C la valeur de l'intégrale \ 2™^^^ 



fc'o 

 Nous avons ainsi démontré qu'on a 



\ï 



sin fiylk dy 



1 — 2 (a + ib) k cos fi ylk+{a + ibf k" e^'^y + 1 



;r|l/l— a^l fc|b|(l— a/c) 



Cette inégalité nous montre que l'intégrale du premier membre convergera 

 vers zéro, quand k tend vers l'unité, pourvu que a soit différent de -pi ou — 1, ce 

 qui entraîne que b soit différent de zéro, car a^-\-b'^ = 1. 



Nous sommes ainsi forcés d'examiner particulièrement le cas a= —1. Le cas 

 a = +1 ne peut pas rentrer ici, parce que la série (8), dont il s'agit, ne contient 

 pas le terme pour lequel «p= 1. 



Pour a = — 1 l'intégrale (9) prend la forme: 



B 



t 



sin fi ylk dy 



. ^ 2k cos fjt ylk + k^ e^^y + l' 



Cette intégrale convergera aussi vers zéro pour A" = 1 , comme nous allons le 

 montrer à présent. 



Supposons donnée de nouveau une quantité positive o aussi petite qu'on 

 voudra et écrivons: 



ß = ß, +ßo 



où 



g _ ^ s\n ftylk dy 





+ 2k cos fi ylk ->rk'^ ^''y+l' 



sin fi ylk dy 



-\-2k cos fi ylk -{- F ' ^"ö+l ' 



