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D'abord nous allons démontrer que la fonction sous le signe \ converge uni- 

 formément vers zéro, quand k tend vers l'unité, pour des valeurs de y dans l'inter- 

 valle 0< y<^. 



Posons encore k = l — a, s étant réel positif. L'intégrale B^ prend alors 

 la forme: i 



^ smfiyl{l — z) dg 



4(l-s)cos^'|{/Z(l-£) + Ê^ e2'^+l 



Il s'agit de vérifier l'existence de l'inégalité 



\ sin iLtyl{l — e)\ ^ 



4(l-£)cos-|y/(l-£) + £- 

 que nous écrivons sous la forme 



!2sin|-y/(l^£)cos|-y/(l-c) < 4d{l-s) cos'^yl{\- e) + ôs\ 



En posant 



cos^'l yZ(l-£) = 1-sin^l y/(l-£) 



cette inégalité se laisse écrire: 



2|sin|-y/(l-3)| [lcos|y/(l-Ê)|+2,î(l-£) |sin|-y/(l-£)J < id{l-e)^ rh'. (11) 



On voit tout de suite qu'on a 



|cos|-y/(l-e)|+2o^(l-£)|sin|^y/(l-£)| < 2 

 en supposant â assez petit. 



En outre nous supposerons e si petit qu'on a Z(l — e) < — . 

 Pour des valeurs de y dans l'intervalle <^y ^-^ on a alors 



|sin|y/(l-£) < I .y. /(1-£)| < f-|-^ < yö\ 



Cela entraine que la quantité au premier membre de l'inégalité (11) reste plus 

 petite que 2d et cette inégalité est ainsi satisfaite. 

 Il s'ensuit qu'on a : 



„ . r dy 12 ^ . . 



Mais \ --„„]-. = ïT et amsi: 



" 12 



