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Appliquons les résultats obtenus à l'équation (6) page 10. En faisant tendre 

 u vers l'unité on obtient l'expression asymptotique: 



3m 



m-1 , W" , Im , 1( 1— u 2) 

 L{au) = 2"+î=ii^ + /77l«"^ ^n^]«^ 



I 2 V — » 2 s in my/u rfy 



1 1 — 2u 2 COS my/u + u ' 



L'intégrale qui figure au second membre de cette équation croît à l'infini 

 pour « = 1 comme la fonction j- . Multiplions les deux membres de l'équation par 

 lu et cherchons la limite vers laquelle tend l'intégrale 



lu • sin m ylu dy 



3"' " ~\n,'e^^ + \ 



1 — 2u 2 CCS mylu -f u 



quand u tend vers l'unité. 



La fonction sous le signe J prend la forme ;] pour u = 1 en supposant y fini. 



Un calcul élémentaire montre qu'elle a pour vraie valeur la quantité jjr(Â~i-jra\- 



Maintenant nous allons démontrer que la limite de l'intégrale (14) existe pour 

 u = 1 et sera égale à l'intégrale : 



r 4y dy 



\ m(4{/2 + 9)'e2"!/+r 



•'o 



Nous commençons par vérifier l'inégalité 



\lu\ • sin mu \lu\ 4u 



i^J f_^ > ^ (15) 



l-2u-?cos/ny/a + u^"'"'"(*y' + ^) 

 quelle que soit la valeur de y dans l'intervalle 



d étant une quantité réelle positive aussi petite qu'on voudra, pourvu que u ail 

 des valeurs assez proches de l'unité. 



3 m 



Posons u 2 = 1— Ê, e positif, et écrivons l'inégalité (15) sous la forme: 



i^^^=^(4y^ + 9)sin|-y|/(l-c-) > 2y [4(l-£) sin^|-/(l -e) + --] • (16) 

 D'ailleurs nous supposerons | /(l — s)\ < 2s < o'-', ce qui suffira. 

 Du développement 



sin |-ym-£) =lyi{i--s)-^,y'iHi-s) + ^f-^,ifiHi-^)--^^^,y'r{\-s) + ... 



on conclut : 



