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Or on a |Z(1 — £}\>s-\-^, c'est-à-dire /^'(l — e) — £^>£-'+-t-; et, d'après les 

 hypothèses faites sur y et s, on a encore 



L'inégalité (21) est ainsi juste et par conséquent aussi l'inégalité (19). 



Cela posé, on arrive à l'inégalité (17) par l'addition des deux inégalités (18) et 

 (19) et la démonstration de l'existence de l'inégalité (15) est ainsi établie. Il sera 

 utile pour les recherches qui viennent ci-après d'énoncer le l'ésultat obtenu de la 

 manière suivante: Pour des valeurs de y dans l'intervalle < y <^ y on a: 



|i^^^^J^' (4y3 + 9)sin-|y|/(l-c)|-2y[4(l-£)sin-^ /(l-s)+£ä]| 1 

 = li(l-_Ê)l (4y2^9)sin |y|/(i_,)|_2yf4(l-£)sinä|-/(l-£) + £^' 



en supposant |/(1 — £)|<2e<^^. 



Ce résultat obtenu, nous sommes en état de démontrer que la fonction sous 



le signe J de l'intégrale (14) 



lu ■ sin mylu 



3m I 



1 — 2 uT" COS mylu + u *"' 

 convergera uniformément vers la quantité 



4;/ 



m(4y^ + 9) 

 pour u = 1, supposé que < y < — et 1/(1 -e)! < e+s" < 2s < â', ayant posé 



3m ') 



u 2 = 1 — e. 



En d'autres termes, il s'agit de démontrer qu'on a: 



I I /u I . sin my \lu\ 4y j 



l~2u^ cos mylu + u"" "'(4j/^ + 9)l 



(23 a) 



â étant une quantité réelle positive aussi petite qu'on le voudra. 



3m 



Posons u 2 = 1 — £ , et l'inégalité prend la forme 



3^!Z(l-£)isin--y|/(l-£)| 



4y 



y m .\^-3 m(4y2-f9) 



En la mettant sous forme entière on aura : 



4(1— s)sin2-|-/(l-£) + e2 



< 3. 



|-|/(l-£)î(4y^'+9)sin|y|/(l~£)| _ 4y [4(l-£) sin^'|-Z(l-£) + £^1 

 < (îm(42/*^ + 9)[4(l-£)sin-|/(l-£)-i- £-| 



