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convergera vers l'intégrale — \ M^ai m (e2 i^irX~n "^^ faisant tendre n vers 

 l'unité. 



Revenons alors à l'expression asymptotique pour L (au) que nous avons 

 établie à la page 16. Cette expression était: 



3/71 



L(aa) = .-"'-l + ^-^- + J'"- + 'lkziLU 

 2 ^ \-u"'^ mlu mlu 



3 m 



.) 1— 2u"2 



-i" COS mylu + a"" '"'' + ^ 



(28) 



En multipliant les deux membres de cette équation par lu et en faisant tendre 

 u vers l'unité on obtient en vertu du résultat que nous venons d'établir l'expression 

 asymptotique suivante : 



lu.L(au) = -A + l'"^ lz(i_„^^)+^8 r y dy_ 



i 



De cette expression asymptotique pour lu • L{au) on en obtient une autre pour 

 la fonction — -..- en divisant par l{\ — Vu) et en faisant tendre n vers 1. On 



arrive à l'expression : 



, . lu- Liau) 1 



Lim —^ = — . 



« = i /(l— l/ii) "' 



Ce résultat bien simple est digne d'intérêt, il me semble '). Il montre par 



rapport à la série de Lambert Lis) que la fonction -" — ^~- tend vers — quand le 



^ * U\-~Vu) "i * 



variable complexe s suivant le i-ayon vecteur s'approche d'un point du cercle de 

 convergence dont l'affîxe est une racine primitive de l'équation .t'" = 1. Pour 

 m = 1, c'est-à-dire « = 1, l'expression est celle bien connue: 



Lim -^ = 1. 



Z(l — 1/s) 



§ 4. Dans ce paragraphe nous allons étudier la fonction 

 sur le cercle de convergence. 



^ +■ 



') Après avoir terminé ces recherclies nous avons reçu de M. Knoim" ses tlicses de doctorat 

 intitulées: Grenzwerte von Keihen bei der Annälierung an die Konvergenzgrenze, Berlin 1907, dans les- 

 quelles l'auteur a obtenu la même proposition (page .31 du mémoire cité) d'une toute autre manière 

 mais sans avoir l'expi-ession pour L{ou) tl les cxpiessions asj'mplotifjues jiour L("ti) d lu . I.[ou) que 

 nous avons établies. 



