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Celle fonction est liée élioitenienl à la série de Lambert, comme le montre 



l'équation : 



<p{s) = L(s)-2L{s'). 



A laide de cette identité et en faisant usage de l'expression asymptotique 

 pour la fonction L{aii) on obtient facilement une expression asymptotique pour 

 ç(au) où a et II ont les mêmes désignations que dans les paragraphes précédents. 



Posons s = rxu, on a alors: 



<p{au) = L{au)-2L(a'ü"). (29) 



II s'agit maintenant d'établir une expression asymptotique pour L{a"ii^), où a 

 désigne une racine primitive dans l'équation x'" = 1. 



Il faut alors distinguer les deux cas: m pair et m impair. Considérons d'abord 

 le cas où m est impair. Dans ce cas la quantité a^ est aussi une racine primitive 

 de l'équation x"* = 1, et on aura par conséquent une expression asymptotique pour 

 la fonction L{a.^u^) en remplaçant a par «- et u par u" dans l'équation (28) sans 

 changer le nombre m. On arrive alors à l'expression : 



r , o .. m — 1 , u^'" , Im , 1(1 -u^"") 



1 — u2'"^2m/u ' 2mlu 



«^0 



u^"* sin 2mylu dy 



■ 2u3"' cos 2m]/îu ^ u^'" ' e^v -fi 



En substituant ces expressions asymptotiques pour L{au) et L{a''u^) dans 

 l'équation (29), on obtient pour (f{au) l'expression: 



m — 1 , W" /(1 + U2) l u 2 sin m ylu dy 



<p{aa) = ^ + j:^^. ^y„ + 2 V "— ^^ "^-^ • ^."^^ • (30) 



' 1 1 + 2u 2 cos mylu + u* ~ 



Or l'intégrale du second membre de cette équation converge vers zéro en faisant 

 tendre u vers l'unité, comme nous l'avons démontré à la page 13, d'où il suit 

 qu'on a l'expression asymptotique : 



m /(l+uT) 



pourvu que m soit un entier impair. 



Posons spécialement n7=l; l'équation (31) montre qu'on a asymptotiquement: 



1 /(l + sl/j) 



f(s) = 



Is 



valable sur l'axe des nombres réels positifs. Cette expression asymptotique n'est 

 autre chose que la suivante: 



que nous avons établie à la page 16 dans la note citée page 3, car on voit aisé- 



