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ment qu'on a : 



,. ri i{i+sVs} . /(i+i/i)i 



Considérons alors le cas où m désigne un entier pair. Pour obtenir une 

 expression asymptotique pour la fonction L{a^u^) il faut remplacer a par a'^, u par 

 u^ et m par -^ dans l'équation (28) parce que «^ est une racine primitive dans 



l'équation .t2 = 1, étant donnée l'hypothèse faite sur m. On arrive alors à l'expres- 

 sion asymptotique 



■ m 3ni 



, ., .,, m — 2 , W" , '2 , 1(1 — u2) 



L(a'ii^) = - 4 - + jzr^n-, + ^i~ + ^/„ 



3_m 



2 sin mylu dg 



+ 2f ^ 



\l-2uf cos mi,lu + a"" '"^ + ^ 



ce qui entraîne à cause de l'identité (29) pour (p{aii) l'expression asymptotique: 



/m — 2/ 



3m 



1 U'" , "" — ^'X 1(1— U^) 



l «2 sin mi/Zu dy 



J 1— 2u^ 



(32) 



iTaaXcosm^/u + a^'" ^"^" + 1 



pourvu que m soit un entier pair. 



En comparant les deux expressions (31) et (32) on voit que la nature des 

 points singuliers de la fonction ^(s) sur le cercle de convergence est bien différente 

 suivant que le degré de l'équation x'" = 1 qui détermine l'affixe du point considéré 

 est pair ou impair. On voit tout d'abord que le cercle de convergence est une 

 coupure essentielle pour la fonction (p(s). 



Multiplions maintenant les deux membres de l'équation (32) par lu et faisons 

 tendre u vers l'unité. On arrive alors à l'expression asymptotique suivante: 



, , , 1 , 2Z2 — ta 1 ,,, ^. 8 r y dy ,„.-^ 



ipiau) -lu = / (1— u 2 ) \ 7-^-r, • ,^„ I , (33) 



».'0 -^ ' 



en tenant compte du résultat énoncé page 20. 

 De l'expression (33) on conclut enfin : 



Lim/"i^ = -1-, 

 /(l — u) m 



m désignant un nombre pair quelconque. 



Les équations (31) et (32) nous montrent qu'il n'en existe pas deux entre des 

 rayons vecteurs envisagés, le long desquelles on doive appli([uer la même expres- 

 sion asymptotique. 



