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§ 5. Dans ce paragraphe nous allons étudier la fonction 0(s) de Weieustrass\) 

 (Pis) 



\^ s" 



sur le cercle de convergence. 



En désignant encore par a une racine primitive de l'équation x""' = 1, m étant 

 un entier quelconque, et en posant s = au, ii étant une quantité réelle dans l'inter- 

 valle 0<C u< 1, on obtient pour 0(au) l'expression: 



0(aU) ^2^ l+«2„2,„;, + 2+^ 14-«''«2,„. + 4+----+^ l.^«2, 

 p=0 p=0 ' p=0 



^m ljjmp+m-1 

 2/11—2 jj2mp+2m-2 



V 



Ifinp + »1 



+ /, l_|_ii2mp + 2m' 



Chaque terme du second membre a la forme 



ßuP'^ + i 



m -^Si- 



. ß2jßpn + iq ' 



(34) 



(35) 



p et g désignant des nombres entiers positifs et ß étant une quantité complexe 

 dont le module est 1. Spécialement /î a la valeur de 4- 1 ou de —1. 



Nous allons maintenant exprimer la série f{u) par une intégrale définie en 

 appliquant un procédé tout à fait analogue à celui dont nous avons fait usage 

 dans la note citée page 3 pour trouver la somme de la série de Lambert. Nous 

 considérons l'intégrale 



ßuP^+1 



dz 



l-^/92u2pz+29 e2s«_i 



prise dans le sens positif le long du contour d'un rectangle dont les côtés, parallèles 

 aux axes, passent par les points l, n + .^ , bi, — bi, n désignant un nombre entier 

 positif quelconque et b une quantité réelle positive. 



ib 



') Weierstrass: Mathematische Werke, Band II, p. 227. Voir au.ssi la note de l'auteur, citée 

 page 3, dans laquelle nous avons traité la fonction (P(s) pour des'valeurs réelles positives de s. 



I). K. n. Vidensk. Selsk. sur-, 7. Hælike, nnlurviiU'iisU. ii|i m:illicni Aid. VI I * 



