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Nous convenons de prendre pour ii~ la valeur de e-'", où lu est fixé de telle 

 manière qu'il prenne des valeurs réelles pour des valeurs réelles positives de u. 



La fonction sous le signe \ admet comme pôles dans l'intérieur du rectangle 



les points î = 1, 2, 3 . .. n et en outre les points singuliers de la fonction . , ^„„ „ ,„ , 

 qui sont de la tornie 



_ _ g^ (2p,±l)n_-2^ 



p ^ 2plii 



en posant ß -= e'>, p^ étant un nombre entier quelconque. Or p et q sont du 

 même signe, et par conséquent tous ces pôles sont extérieurs au rectangle. D'après 

 le théorème de Caucliy, l'intégrale se réduit à la somme des intégrales prises sur 

 des circonférences infiniment petites ayant leurs centres aux points 1, 2, ... n. 



On voit tout de suite que le résidu de la fonction sous le signe ] relatif au 

 pôle z = n^, /ij désignant un nombre entier quelconque, a la valeur: 



1 ßuP"i + 1 



Nous avons ainsi : 



^ ßuP'^ + t _ ? ßuP' + 1 _dz 



n, = 1 %) 



l'intégrale étant prise le long du contour du rectangle. 



Cette intégrale se laisse exprimer d'une autre manière. En employant le 

 procédé de M. Petersen'), nous divisons le chemin d intégration en deux parties: 

 celle située au-dessus de l'axe des x que nous désignons par C et celle située 

 au-dessous. Sur le chemin C l'intégrale peut s'écrire : 





JaP^ + <i 



t-f^2pT+2,' 



et on a: (C' (C) 





) l_|_/92jj2p(;i+ J -i!/) + 2g g2si; , ^ \ ^ a^^^p(n+ l +iy) + 2q g-2?ra_|_j 



^ Ç" ^u/>(*+å + ■■''•+'/ e-^'"'+^'"'=dx 



' \ 1 _i_ /o2 2p(3T4 V + i6) + 2g — 2;rb + 2rtx_|_j 



(C) 

 'j J. PKTEnsEN: Vorlesungen über Kunktioneatheorie, Kopenhagen 1898, p. Kil. 



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