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car la seconde intégrale au second membre de l'équation tend vers zéro quand n 

 croît à l'infini dans l'hypothèse 0< u< 1. 



En substituant celte expression à la série 



Z, 



dans l'équation (34), elle prendra la forme : 



0(aU) = > , + X \ ^ r-2r„2mz + 2„^^ 



p = 1 n = 1 t^-' 



1+ a2j'u2'"Z + 2p 



(38) 



\Z^ \ 1 + 2a'''u'" +'^ CCS 2mijlu + «*^u^ + "" ' e''^«+ 1 



Posons spécialement a = 1, m=l, on obtient alors pour la fonction (l>{s) une 

 expression applicable à des valeurs réelles de s dans l'intervalle 0<^s< 1. 



0{s) 



arctg s Ks _L 2 C (1 — s^) sVssin yfe rfy 



J 1 + 2s^^ c 



1 + s^ 7s ' Vl + 2s'^ cos 2yls + s" e2'ry + 1 



En posant /9 = /> = 1, 9 = dans l'équation (37) on obtient aussi pour (Pis) une 

 expression applicable dans l'intervalle < s < 1 ; cette expression est la suivante 



arctg 1/s ^y (l-s)l/s sin y/s ^i/ ...o, 



*^*'^ = j^^ + 2 J^ 1-^27^5 2y?sq: s^ e^'^1 ' '"^^^ 



que nous avons communiquée dans la note citée page 3. 



Nous allons maintenant faire tendre u vers l'unité dans l'équation (38), et nous 

 commençons par chercher la limite vers laquelle tend le module de l'intégrale 



Ç a" [1 - a'Pu"'+^P]u'^ +" sin mylu dy 



\ 1 + 2«*u"' + ''' cos 2my/ü + a"'^u"" + -"' ' e^'^a.+ l 

 quand u tend vers l'unité. 



Supposons donnée une quantité réelle positive o aussi petite qu'on voudra, et 



écrivons: 



I = h+h 



et 



1 

 I ==[^ «" [1 - «'"""' ^'n a^ +^sin mylu 



_ r «^ [1 -a'^u"' + '^] H^+^ sin /ny/u 

 ' '^ 5 1 1 + 2a'^u"' + '" cos 2myZu + «%^' + '^ 





//y 



e2''!/+l 



Posons pour simplifier l'écriture a?P = a-\-ib\ a el b sont des quantités réelles 

 qui satisfont à l'équation a^-\-b-= 1, et en outre u"'+2p = k; on a alors (voir page 12): 



